设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 是数域 $P$ 上四维线性空间 $V$ 的一组基，$V$ 上的线性变换 $\sigma$ 在此基下的矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 2 & 1 \\
-1 & 2 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 5 & 5 \\
2 & -2 & 1 & -2
\end{array}\right)
$$
（1）求 $\sigma$ 的核．
（2）求 $\sigma$ 的值域．