解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算行列式 $D_{n+1}=\left|\begin{array}{ccccc}a_1^n & a_1^{n-1} b_1 & \cdots & a_1 b_1^{n-1} & b_1^n \\ a_2^n & a_2^{n-1} b_2 & \cdots & a_2 b_2^{n-1} & b_2^n \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n+1}^n & a_{n+1}^{n-1} b_{n+1} & \cdots & a_{n+1} b_{n+1}^{n-1} & b_{n+1}^n\end{array}\right|$ ，其中 $a_1 a_2 \cdots a_{n+1} \neq 0$ ．
计算行列式 $ D=\left|\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 1 & x-1 \\
1 & -1 & x+1 & -1 \\
1 & x-1 & 1 & -1 \\
x+1 & -1 & 1 & -1
\end{array}\right| \text {. }$
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 是数域 $P$ 上四维线性空间 $V$ 的一组基，$V$ 上的线性变换 $\sigma$ 在此基下的矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 2 & 1 \\
-1 & 2 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 5 & 5 \\
2 & -2 & 1 & -2
\end{array}\right)
$$
（1）求 $\sigma$ 的核．
（2）求 $\sigma$ 的值域．
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 a x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 b x_2 x_3$ 经过正交变换 $X=T Y$可化为标准形 $f=y_2^2+2 y_3^2$ ．
（1）求参数 $a, b$ ．
（2）求所用的正交矩阵 $T$ ．
已知 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 5 & 5 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & t & 2\end{array}\right)$ ，若 $A$ 有一个二重特征根且 $t < 1$ ．
（1）求 $t$ ．
（2）求 $A$ 的最小多项式．
（3）求 $A$ 的 Jordan 标准形．
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，证明：$(A-E)(A-3 E)=O$ 当且仅当 $r(A-E)+r(A-3 E)=n$ ．
设 $P$ 是数域，$A \in P^{n \times n}$ 为数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵，证明：存在 $B \in P^{n \times n}$ 使得 $A=A B A$ 且 $B=B A B$ ．
设 $P$ 是数域，令 $V_1=\left\{A \in P^{n \times n} \mid A^{\mathrm{T}}=A\right\}, V_2=\left\{A \in P^{n \times n} \mid A^{\mathrm{T}}=-A\right\}$ ．证明：
（1）$V_1, V_2$ 为 $P^{n \times n}$ 子空间．
（2）$P^{n \times n}=V_1 \oplus V_2$ ．
设有 $n+1$ 个列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, \beta \in \mathbb{R}^n, A$ 是一个 $n$ 阶正定矩阵．若满足
（1）$\alpha_i \neq 0(i=1,2, \cdots, n)$ ．
（2）$\alpha_i^{\mathrm{T}} A \alpha_j=0,(i, j=1,2, \cdots ; i \neq j)$ ．
（3）$\beta$ 与每一个 $\alpha_i$ 都正交．
证明：$\beta=0$ ．
证明：非零复数 $\alpha$ 是某一有理系数非零多项式的根的充要条件是存在一有理系数多项式 $f(x)$ ，使得 $f(\alpha)=\alpha^{-1}$ ．