设 $\mu$ 为集 $X$ 的环 $\mathscr{R}$ 上的测度．
（1）如果 $\mathscr{R}$ 为 $\sigma$ 环，$E_n \in \mathscr{H}(\mathscr{R}), E_1 \subset E_2 \subset \cdots \subset E_n \subset \cdots$ ，则

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \mu^*\left(E_n\right)=\mu^*\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) .
$$

（2）如果 $\mathscr{R}$ 为 $\sigma$ 环，$E_n \in \mathscr{H}(\mathscr{R}), E_1 \supset E_2 \supset \cdots \supset E_n \supset \cdots$ ，且至少有一个 $E_{n_0}$ ，s．t．$\mu *\left(E_{n_0}\right) < +\infty$ ，则

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \mu_*\left(E_n\right)=\mu *\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} E_n\right) .
$$


举例说明＂$\mu_*\left(E_{n_0}\right) < +\infty$＂不能删去．
（3）举例说明，虽有（1）中条件：$E_n \in \mathscr{H}(\mathscr{R}), E_1 \subset E_2 \subset \cdots \subset E_n \subset \cdots$ ，但

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \mu_*\left(E_n\right) \neq \mu *\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) .
$$

（4）如果 $\mathscr{R}$ 为 $\sigma$ 代数，$E_n \in \mathscr{H}(\mathscr{R}), E_1 \supset E_2 \supset \cdots \supset E_n \supset \cdots, \mu(X) < +\infty$ ，则

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \mu * \cdot\left(E_n\right)=\mu *\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} E_n\right)
$$

（5）举例说明：虽有（2）中条件：$E_n \in \mathscr{H}(\mathscr{R}), E_1 \supset E_2 \supset \cdots \supset E_n \supset \cdots$ ，但

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \mu^*\left(E_n\right) \neq \mu^*\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} E_n\right) .
$$