设 $E \subset \mathbb{R}^1, m^*(E)>0$ ．则对 $\forall q \in\left[0, m^*(E)\right)$ ，必 $\exists E_1 \subset E$ ，s．t．$m^*\left(E_1\right)=q$ ．

设 $\left(\mathbb{R}^1, \mathscr{L}, m\right)$ 为 Lebesgue 测度空间，$E \subset \mathbb{R}^1$ ．如果 $0 < a < m(E)$ ，证明：存在无内点的有界闭集 $F \subset E$ ，s．t．$m(F)=a$ ．

设 $\mu$ 为集 $X$ 的环 $\mathscr{R}$ 上的测度．
（1）如果 $\mathscr{R}$ 为 $\sigma$ 环，$E_n \in \mathscr{H}(\mathscr{R}), E_1 \subset E_2 \subset \cdots \subset E_n \subset \cdots$ ，则

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \mu^*\left(E_n\right)=\mu^*\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) .
$$

（2）如果 $\mathscr{R}$ 为 $\sigma$ 环，$E_n \in \mathscr{H}(\mathscr{R}), E_1 \supset E_2 \supset \cdots \supset E_n \supset \cdots$ ，且至少有一个 $E_{n_0}$ ，s．t．$\mu *\left(E_{n_0}\right) < +\infty$ ，则

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \mu_*\left(E_n\right)=\mu *\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} E_n\right) .
$$


举例说明＂$\mu_*\left(E_{n_0}\right) < +\infty$＂不能删去．
（3）举例说明，虽有（1）中条件：$E_n \in \mathscr{H}(\mathscr{R}), E_1 \subset E_2 \subset \cdots \subset E_n \subset \cdots$ ，但

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \mu_*\left(E_n\right) \neq \mu *\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) .
$$

（4）如果 $\mathscr{R}$ 为 $\sigma$ 代数，$E_n \in \mathscr{H}(\mathscr{R}), E_1 \supset E_2 \supset \cdots \supset E_n \supset \cdots, \mu(X) < +\infty$ ，则

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \mu * \cdot\left(E_n\right)=\mu *\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} E_n\right)
$$

（5）举例说明：虽有（2）中条件：$E_n \in \mathscr{H}(\mathscr{R}), E_1 \supset E_2 \supset \cdots \supset E_n \supset \cdots$ ，但

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \mu^*\left(E_n\right) \neq \mu^*\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} E_n\right) .
$$

设 $\left(\mathrm{R}^1, \mathscr{L}, m\right)$ 为 Lebesgue 测度空间．
（1）作出一个由 $\mathrm{R}^1$ 中某些无理数构成的闭集 $F$ ，s．t．$m(F)>0$ ．
（2）设有理数集 $\mathrm{Q}=\left\{r_n \mid n \in \mathrm{~N}\right\}$ ，令

$$
G=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(r_n-\frac{1}{n^2}, r_n+\frac{1}{n^2}\right)
$$


证明：任一闭集 $F \subset \mathrm{R}^1$ ，有 $m(G \Delta F)>0$ ．

设 $\left(\mathbb{R}^2, \mathscr{L}, m\right)$ 为 Lebesgue 测度空间，$[0,1]^2=[0,1] \times[0,1]$ ．令

$$
E=\left\{(x, y) \in[0,1]^2| | \sin x \left\lvert\, < \frac{1}{2}\right., \cos (x+y) \text { 为无理数 }\right\} \text {. }
$$


证明：$m(E)=\frac{\pi}{6}$ ．

设 $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ ．若对 $[a, b]$ 中任一 Lebesgue 可测集 $E, f(E)$ 必为 $\mathbb{R}$ 中的 Lebesgue 可测集．证明：$[a, b]$ 中任一 Lebesgue 零测集 $Z$ ，必有 $f(Z)$ 为 $\mathbb{R}$ 中的 Lebesgue 零测集，即 $m^*(f(Z))=0$ ．

设 $([0,1], \mathscr{L} \cap[0,1], m)$ 为 $[0,1]$ 上的 Lebesgue 测度空间．
（1）证明：不存在具有下列性质的 Lebesgue 可测集 $E \subset[0,1]$ ，对 $\forall(a, b) \subset[0,1]$ 有

$$
m(E \cap(a, b))=\frac{b-a}{2}
$$

（2）设 $E \subset[0,1]$ 为可测集且 $m(E) \geqslant \varepsilon>0, x_i \in[0,1], i=1,2, \cdots, n$ ，其中 $n>\frac{2}{\varepsilon}$ ．证明： $E$ 中存在两点其距离等于 $\left\{x_1, x_2, \cdots, x_n\right\}$ 中某两个点之间的距离．
（3）在 $[0,1]$ 中作点集

$$
E=\{x \in[0,1] \mid \text { 在 } x \text { 的 } 10 \text { 进制小数表示中只出现 } 9 \text { 个数码 }\} \text {, }
$$


求 $m(E)$ 和 $\overline{\bar{E}}$ ．
（4）设 $W \subset[0,1]$ 为 Lebesgue 不可测集．证明：$\exists \varepsilon \in(0,1)$ ，s．t．对于 $[0,1]$ 中任一满足 $m(E) \geqslant \varepsilon$ 的可测集 $E, W \cap E$ 为 Lebesgue 不可测集．