设 $([0,1], \mathscr{L} \cap[0,1], m)$ 为 $[0,1]$ 上的 Lebesgue 测度空间．
（1）证明：不存在具有下列性质的 Lebesgue 可测集 $E \subset[0,1]$ ，对 $\forall(a, b) \subset[0,1]$ 有

$$
m(E \cap(a, b))=\frac{b-a}{2}
$$

（2）设 $E \subset[0,1]$ 为可测集且 $m(E) \geqslant \varepsilon>0, x_i \in[0,1], i=1,2, \cdots, n$ ，其中 $n>\frac{2}{\varepsilon}$ ．证明： $E$ 中存在两点其距离等于 $\left\{x_1, x_2, \cdots, x_n\right\}$ 中某两个点之间的距离．
（3）在 $[0,1]$ 中作点集

$$
E=\{x \in[0,1] \mid \text { 在 } x \text { 的 } 10 \text { 进制小数表示中只出现 } 9 \text { 个数码 }\} \text {, }
$$


求 $m(E)$ 和 $\overline{\bar{E}}$ ．
（4）设 $W \subset[0,1]$ 为 Lebesgue 不可测集．证明：$\exists \varepsilon \in(0,1)$ ，s．t．对于 $[0,1]$ 中任一满足 $m(E) \geqslant \varepsilon$ 的可测集 $E, W \cap E$ 为 Lebesgue 不可测集．