如图所示实验装置，由矩形 $A B C D$ 和 $A B E F$ 构成，且 $A B=4, A D=A F=$ 3．$\angle D A F=\frac{\pi}{3}$ ．活动点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 分别在对角线 $\mathrm{BD}, \mathrm{AE}$ 上移动，且 $\mathrm{AN}=\mathrm{DM}$ ．
记 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{A F}=\boldsymbol{c}$ ，且 $\overrightarrow{D M}=\lambda \overrightarrow{D B}, \lambda \in[0,1]$ ．
（1）用向量 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 表示 $\overrightarrow{A M}, \overrightarrow{M N}$ ．
（2）$\lambda$ 为何值时，$|\overrightarrow{M N}|$ 最小，最小值是多少？
（3）当 $\lambda=\frac{2}{3}$ 时，证明： $\mathrm{MN} \perp$ 平面 ABCD ．