单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知直线 $l$ 过点 $(2,-2)$ 和 $(-3,2)$ ，则直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}$
若 $A, B, C, D$ 为空间中不同的四点，则下列各式不一定等于零向量的是
$\text{A.}$ $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}$
$\text{B.}$ $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{B D}$
$\text{C.}$ $\overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{B C}+2 \overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D C}$
$\text{D.}$ $\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{A D}$
在平面直角坐标系中，已知点 $\mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ ，满足条件 $\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{(x+1)^2+y^2}=t+ \frac{1}{t}(t>0)$ ，则点 P 的轨迹是
$\text{A.}$ 椭圆
$\text{B.}$ 线段
$\text{C.}$ 射线
$\text{D.}$ 椭圆或线段
已知直线 $11: 4 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}-2=0,12:(\mathrm{m}+2) \mathrm{x}+(\mathrm{m}-1) \mathrm{y}-5 \mathrm{~m}-1=0$ ，当 $\mathrm{l}_1 / / \mathrm{l}_2$ 时，两直线 $\mathrm{l}_1 \mathrm{l}_2$ 之间的距离为
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $\sqrt{5}$
$\text{D.}$ 2
若方程 $x^2+y^2+4 x-2 a y+3 a^2-a+1=0$ 表示圆，且圆心在第二象限，则实数 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right)$
$\text{C.}$ $\left(-\frac{3}{2}, 0\right)$
$\text{D.}$ $\left(0, \frac{3}{2}\right)$
在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，$P A=2 B C, E$ 为 $C D$ 的中点，则异面直线 $B E$ 与 $P C$ 所成角的余弦值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{30}}{30}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{15}}{15}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{15}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{5}}{30}$
已知曲线 $C: y=\sqrt{16-x^2}$ ，则＂$-4 \leqslant m < 4$＂是＂直线 $y=x+m$ 与曲线 $C$ 有且仅有 1 个交点＂的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知空间向量 $\overrightarrow{O A}=(1,0,0), \overrightarrow{O B}=(0,1,0), \overrightarrow{O C}=(0,0,1)$ ，向量 $\overrightarrow{O P}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}+z \overrightarrow{O C}$ ，且 $x+2 y+4 z=4$ ，则 $|\overrightarrow{O P}|$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{4 \sqrt{21}}{21}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{17}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{7}}{3}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知曲线 $\mathrm{C}: x^2+\frac{y^2}{m}=1$ ，则下列结论正确的有
$\text{A.}$ 若 $0 < m < 1$ ，则 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆
$\text{B.}$ 若 $m=1$ ，则 $C$ 是圆
$\text{C.}$ 若 $m=2$ ，则 $C$ 的焦点为 $(-1,0)$ 和 $(1,0)$
$\text{D.}$ 若 $m=2$ ，则 $c$ 的长半轴长为 $\sqrt{2}$
已知直线 $1: \mathrm{x} \cos \theta+\mathrm{y} \sin \theta+1=0$ ，圆 $\left(\mathrm{C}:(x-\cos \theta)^2+(y-\sin \theta)^2=1\right.$ ，其中 $\theta \in[0, \pi]$ ，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 直线 1 与圆C 相离
$\text{B.}$ 当 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时，直线 1 的斜率不存在
$\text{C.}$ 若点 $\mathrm{Q}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ 为圆C 上任意一点，则 $x^2+y^2$ 的最大值为 2
$\text{D.}$ 过直线 1 上一点 P 作圆 C 的切线，切点为 $\mathrm{A}, \mathrm{PA}^{\prime}$ 的最小值为 $\sqrt{3}$
在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，点 P 在棱 $\mathrm{BB}_1$ 上移动， $\mathrm{BP}=\mathrm{t}(0 \leqslant \mathrm{t} \leqslant 2)$ ．过点 P作平面 $\alpha$ 垂直于空间对角线 $\mathrm{AC}_1$ ，设平面 $\alpha$ 与正方体的截面为多边形．记截面多边形的重心为 $G$ ，面积为 $S$ ，边数为 $N$ 。当 $t$ 从 0 到 2 连续变化时，下列说法正确的是
$\text{A.}$ 平面 $\alpha$ 与平面 ABCD 夹角的余弦值是：$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ $S$ 的取值范围是 $[2 \sqrt{3}, 3 \sqrt{3}]$
$\text{C.}$ $N$ 的值可能是 5
$\text{D.}$ 点 G 的轨迹的长度为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知空间向量 $\mathrm{a}=(2,1,0), \mathrm{b}=(2,-1, \sqrt{3})$ ，则 $: 2 a-b:=$
若不同的两点 $A(a+1, b-1)$ 与 $B(b, a)$ 关于直线 1 对称，则 1 的倾斜角为
若过圆 $\mathrm{C}: x^2+y^2-6 x=0$ 内不同于圆心的点 P 恰好可以作 5 条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点 P 构成的区域的面积为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知椭圆 $\mathrm{F}_{:} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $\mathrm{F}_1, \mathrm{~F}_2, E P(-3,0), Q(0, \sqrt{5})$ 两点在椭圆 E 上。
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）若点 $\mathrm{M}(\mathrm{a} \cos \theta, \mathrm{b} \sin \theta), \mathrm{D}(1,1)$ ，证明：点 M 在椭圆上，并求 $\triangle D F_1 F_2$ 的周长．
已知圆 C：$(x-a)^2+(y-b)^2=b^2(a>0, b>0)$ 与 y 轴交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，$\angle A C B=120^{\circ}$ ，且 $|O C|=\sqrt{5}$ ．
（1）求圆 $C$ 的标准方程；
（2）若直线 $y=x+m$ 和直线 $y=x+n$ 将圆C 的周长四等分，求 $: m-n:$ 的值．
如图所示实验装置，由矩形 $A B C D$ 和 $A B E F$ 构成，且 $A B=4, A D=A F=$ 3．$\angle D A F=\frac{\pi}{3}$ ．活动点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 分别在对角线 $\mathrm{BD}, \mathrm{AE}$ 上移动，且 $\mathrm{AN}=\mathrm{DM}$ ．
记 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{A F}=\boldsymbol{c}$ ，且 $\overrightarrow{D M}=\lambda \overrightarrow{D B}, \lambda \in[0,1]$ ．
（1）用向量 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 表示 $\overrightarrow{A M}, \overrightarrow{M N}$ ．
（2）$\lambda$ 为何值时，$|\overrightarrow{M N}|$ 最小，最小值是多少？
（3）当 $\lambda=\frac{2}{3}$ 时，证明： $\mathrm{MN} \perp$ 平面 ABCD ．
如图所示，在直三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_1 \mathrm{~B}_1 \mathrm{C}_1$ 中， $\mathrm{AB} \perp \underline{\mathrm{AC}}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{CC}_1=1$ ， E 是线段 $\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$ 上的动点（不与点 $\mathrm{B}_1, \mathrm{C}_1$ 重合），且满足 $\overrightarrow{B_1 E}=\lambda \overrightarrow{B_1 C_1}$ ，实数 $\lambda \in(0,1)$ ．
（1）当 $\lambda=\frac{1}{2}$ 时，证明： $\mathrm{A} 1 \mathrm{E} \perp$ 平面 EBC ；
（2）当 $\lambda=\frac{1}{3}$ 时，求二面角 $E-A_1 B-B_1$ 的余弦值；
（3）求四面体 $\mathrm{EA}_1 \mathrm{BC}$ 的外接球半径的取值范围．
已知圆 $\mathrm{O}: x^2+y^2=1$ ，点 $\mathrm{M}(1,4)$ ．
（1）过 M 作圆 O 的切线，求切线的方程．
（2）过圆 $O$ 上一点 $P\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 作两条相异直线分别与圆O相交于 $A, B$ 两点，且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补．求证：直线 AB 的斜率为定值．
（3）已知点 $\mathrm{D}(2,8)$ ，设 Q 为满足方程 $\left(Q D^2+Q O^2=106\right.$ 的任意一点，过点 Q 向圆 O 引切线，切点为 E ，试探究：平面内是否存在一定点 T ，使得 $\frac{Q E^2}{Q T^2}$ 为定值？若存在，请求出定点 T 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．