已知圆 $\mathrm{O}: x^2+y^2=1$ ，点 $\mathrm{M}(1,4)$ ．
（1）过 M 作圆 O 的切线，求切线的方程．
（2）过圆 $O$ 上一点 $P\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 作两条相异直线分别与圆O相交于 $A, B$ 两点，且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补．求证：直线 AB 的斜率为定值．
（3）已知点 $\mathrm{D}(2,8)$ ，设 Q 为满足方程 $\left(Q D^2+Q O^2=106\right.$ 的任意一点，过点 Q 向圆 O 引切线，切点为 E ，试探究：平面内是否存在一定点 T ，使得 $\frac{Q E^2}{Q T^2}$ 为定值？若存在，请求出定点 T 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．