如图所示，质量为 $m$ 的小球用长为 $L$ 的轻质细线悬于 $O$ 点，与 $O$ 点处于同一水平线上的 $P$ 点处有一个光滑的细钉，已知 $O P=\frac{L}{2}$ ，在 $A$ 点给小球一个水平向左的初速度 $v_0$ ，发现小球恰能到达跟 $P$ 点在同一坚直线上的最高点 $B$ ．求：
（1）小球到达 $B$ 点时的速率；
（2）若不计空气阻力，则初速度 $v_0$ 为多少；
（3）若初速度 $v_0=3 \sqrt{g L}$ ，则小球在从 $A$ 到 $B$ 的过程中克服空气阻力做了多少功？