单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设 $y_1, y_2$ 是一阶线性非齐次微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda y_1+\mu y_2$ 是该方程的解，$\lambda y_1-\mu y_2$ 是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$ ．
$\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$ ．
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}, \mu=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}$ ．
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$ ．
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试写出以 $y=x^2-e^x$ 和 $y=x^2$ 为特解的一阶非齐次线性微分方程．
已知可导函数 $f(x)$ 满足
$$
f(x) \cos x+2 \int_0^x f(t) \sin t d t=x+1
$$
试求 $f(x)$ 的表达式．
设函数 $y(x)$ 满足微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{x y^2+\sin x}{2 y}$ ．试求函数 $g(x)=e^{-\frac{x^2}{2}} y^2(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 内极值点，并判定极值点的类型．
解方程 $y^{\prime \prime}-\left(y^{\prime}\right)^3=0$ ．
解方程 $x y y^{\prime \prime}+x\left(y^{\prime}\right)^2=3 y y^{\prime}$ ．
解方程 $y^{\prime} \cdot y^{\prime \prime \prime}=3\left(y^{\prime \prime}\right)^2$ ．
解方程 $\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-a y^{\prime 2}=0, \\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=-1\end{array}(a \neq 0)\right.$ ．
解方程 $\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}\left(x+y^{\prime 2}\right)=y^{\prime}, \\ y(1)=y^{\prime}(1)=1 .\end{array}\right.$
已知 $y_1=x e^x+e^{2 x}, y_2=x e^x+e^{-x}, y_3=x e^x+e^{2 x}+ e^{-x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程．