单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
具有特解 $y_1=e^{-x}, y_2=2 x e^{-x}, y_3=3 e^x$ 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{y}^{\prime \prime \prime}-\boldsymbol{y}^{\prime \prime}-\boldsymbol{y}^{\prime}+\boldsymbol{y}=\mathbf{0}$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{y}^{\prime \prime \prime}+\boldsymbol{y}^{\prime \prime}-\boldsymbol{y}^{\prime}-\boldsymbol{y}=\mathbf{0}$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{y}^{\prime \prime \prime}-\boldsymbol{6} \boldsymbol{y}^{\prime \prime}+\mathbf{1 1} \boldsymbol{y}^{\prime}-\mathbf{6} \boldsymbol{y}=\mathbf{0}$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$
微分方程 $y^{\prime \prime}-y=e^x+1$ 的一个特解应具有形式为（以下 $a, b$为常数） ）．
$\text{A.}$ $a e^x+b$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{a} \boldsymbol{x} \boldsymbol{e}^x+\boldsymbol{b}$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{a} \boldsymbol{e}^{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{b} \boldsymbol{x}$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{a} \boldsymbol{x} \boldsymbol{e}^{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{b} \boldsymbol{x}$
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=x^2+1+\sin x$ 的特解形式可设为（ ）
$\text{A.}$ $y^*=a x^2+b x+c+x(A \sin x+B \cos x)$
$\text{B.}$ $y^*=x\left(a x^2+b x+c+A \sin x+B \cos x\right)$
$\text{C.}$ $y^*=a x^2+b x+c+A \sin x$
$\text{D.}$ $y^*=a x^2+b x+c+B \cos x$
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $y=e^x\left(C_1 \sin x+C_2 \cos x\right)\left(C_1, C_2\right.$ 为任意常数 $)$ 为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，试求该微分方程．
已知 $y_1=e^x$ 和 $y_2=x e^x$ 是齐次二阶常系数线性微分方程的解，试求该微分方程．
试求三阶常系数线性齐次微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$ 的通解．
设 $y=y(x)$ 满足条件
$$
\left\{\begin{array}{c}
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0 \\
y(0)=2, y^{\prime}(0)=-4
\end{array}\right.
$$
求广义积分 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$ ．
$y^{(4)}+y^{\prime \prime}=x+e^x+3 \sin x$ ．
$y^{\prime \prime}-y^{\prime}=x \cdot 2^x+\cos x$ ．
$(2 x-1)^2 \frac{\mathrm{~d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}-4(2 x-1) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+8 y=8 x$ ．
设 $f(x)=\sin x-\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $f(x)$ 为连续函数，求 $f(x)$ ．
有高为 $\boldsymbol{H ~ c m}$ 的半球容器，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面面积为 $\boldsymbol{S} \mathrm{cm}^2$ ，开始时容器盛满水，问多久水会流完？已知水高度为 $h$ 的小孔水流出的速度为 $0.62 \sqrt{2 g h}(\mathrm{~cm} / \mathrm{s})$ ．
一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 $\boldsymbol{S}$ 成正比，比例常数 $\boldsymbol{K} \boldsymbol{>} \mathbf{0}$ 。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，己知半径为 $r_0$ 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 $\frac{7}{8}$ ，问雪堆全部融化需要多少小时？
设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅受到重力的作用下垂，试问该绳索在平衡状态下是怎样的曲线？