单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设有直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+3 y+2 z+1=0 \\ 2 x-y-10 z+3=0\end{array}\right.$ 及平面 $\pi: 4 x-2 y+z-2=0$ ，则直线 $L$ $\_\_\_\_$ ．（考研题）
$\text{A.}$ 平行于 $\pi$
$\text{B.}$ 在 $\pi$ 上
$\text{C.}$ 垂直于 $\pi$
$\text{D.}$ 与 $\pi$ 斜交
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $|\boldsymbol{a}|=\sqrt{13},|\boldsymbol{b}|=\sqrt{5},|\boldsymbol{c}|=\sqrt{10}$ 及 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=3 \boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}-2 \boldsymbol{k}$ ，则 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{a}=$
已知向量 $\boldsymbol{a}=a_x \boldsymbol{i}+3 \boldsymbol{j}+4 \boldsymbol{k}, \boldsymbol{b}=4 \boldsymbol{i}+a_x \boldsymbol{j}-7 \boldsymbol{k}$ ，则当 $a_x=$ $\_\_\_\_$时，$a$ 垂直于 $b$
设向量 $\boldsymbol{x}$ 与向量 $\boldsymbol{a}=2 \boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+3 \boldsymbol{k}$ 平行，且满足方程 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{x}=7$ ，则向量 $\boldsymbol{x}=$
设 $(a \times b) \cdot c=2$ ，则 $[(a+b) \times(b+c)] \cdot(c+a)=$ $\_\_\_\_$ ．
过三个点 $P(2,3,0), Q(-2,-3,4), R(0,6,0)$ 的平面方程是
设平面经过原点及点 $(6,-3,2)$ ，且与平面 $4 x-y+2 z=8$ 垂直，则此平面方程为
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\boldsymbol{a}=(4,5,-3), \boldsymbol{b}=(2,3,6)$ ，求 $\boldsymbol{a}$ 对应的单位向量 $\boldsymbol{a}^{\circ}$ 及 $\boldsymbol{b}^{\circ}$ 的方向余弦．
已知 $a=i, b=j-2 k, c=2 i-2 j+k$ ，求一单位向量 $m$ ，使 $m \perp c$ ，且 $m$ 与 $a, b$ 共面．
试求到球面
$$
\Sigma_1:(x-4)^2+y^2+z^2=9 \quad \text { 与 } \quad \Sigma_2:(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=4
$$
的距离比为 $3: 2$ 的点的轨迹，并指出曲面的类型。
已知点 $A$ 与 $B$ 的直角坐标分别为 $(1,0,0)$ 与 $(0,1,1)$ ．线段 $A B$ 绕 $z$ 轴旋转一周所成的旋转曲面为 $S$ ．求由 $S$ 及两平面 $z=0, z=1$ 所围成的立体体积．
求曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}z=2-x^2-y^2 \\ z=(x-1)^2+(y-1)^2\end{array}\right.$ 在 3 个坐标面上的投影曲线的方程．
一平面与原点的距离为 6 ，且在三坐标轴上的截距之比 $a: b: c=1: 3: 2$ ，求该平面方程．
求与平面 $6 x+3 y+2 z+12=0$ 平行，而使点 $(0,2,-1)$ 与这两平面的距离相等的平面方程．
过点 $M_0(2,4,0)$ 且与直线 $L_1:\left\{\begin{array}{l}x+2 z-1=0 \\ y-3 z-2=0\end{array}\right.$ 平行的直线方程是
求过点 $M_0(0,2,4)$ ，且与两个平面 $\pi_1, \pi_2$ 都平行的直线方程，其中
$$
\pi_1: x+y-2 z-1=0 ; \quad \pi_2: x+2 y-z+1=0 .
$$
求与已知直线 $L_1: \frac{x+3}{2}=\frac{y-5}{1}=\frac{z}{1}$ 和 $L_2: \frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{4}=\frac{z}{1}$ 都相交，且与 $L_3: \frac{x+2}{3}=\frac{y-1}{2}= \frac{z-3}{1}$ 平行的直线方程．
求点 $P(3,-1,2)$ 到直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+y-z+1=0 \\ 2 x-y+z-4=0\end{array}\right.$ 的距离．
设两直线 $L_1:\left\{\begin{array}{l}x-3 y+z=0 \\ 2 x-4 y+z+1=0\end{array} \quad ; \quad L_2: \frac{x}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{4}\right.$ ；
（1）证明 $L_1$ 与 $L_2$ 是异面直线；
（2）求 $L_1$ 与 $L_2$ 之间的距离；
（3）求过 $L_1$ 且平行于 $L_2$ 的平面方程．
求通过直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x+5 y+z=0 \\ x-z+4=0\end{array}\right.$ 且与平面 $\pi: x-4 y-8 z+12=0$ 成 $45^{\circ}$ 角的平面方程．
求直线 $\frac{x}{\alpha}=\frac{y-\beta}{0}=\frac{z}{1}$ 绕 $z$ 轴旋转而成的曲面的方程，并按 $\alpha, \beta$ 的值讨论它是什么曲面．
证明三平面 $x=c y+b z, y=a z+c x, z=b x+a y$ 经过同一条直线的充分必要条件是
$$
a^2+b^2+c^2+2 a b c=1
$$