2025《高等数学下》期末考试模拟试卷与答案

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2025《高等数学下》期末考试模拟试卷与答案

一、填空题（共 9 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 已知

\vec{a} = 2 \vec{i} + 3 \vec{j} - \vec{k}, \vec{b} = \vec{i} + \vec{j} + 2 \vec{k}, \vec{c} = \vec{i} - 2 \vec{j} - 2 \vec{k}

，则

(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} + (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} =

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2. 母线平行于

y

轴且通过曲线

{\begin{cases} 2 x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16 \\ x^{2} + z^{2} - y^{2} = 0 \end{cases}

的柱面方程是

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3. 极限

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{\ln (1 + x^{2} + y^{2})}{2 (x^{2} + y^{2})} =

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4. 设

\frac{x}{z} = \ln \frac{z}{y}

，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

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5. 球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 11

在点

(1, 1, 3)

处的切平面方程为

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6. 函数

u = x^{2} y z

在附加条件

x + y + z = 8

下的极大值是

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7. 设

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} ⩽ 1}

，则

\iint_{D} \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} d x d y =

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8. 设级数

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}^{2}

收敛，则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{u_{n}}{n}

的收敛性为

（绝对收敛、条件收敛、发散）．

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9. 已知

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

，则

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 n - 1)^{2}} =

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二、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

10. 求过点

(1, 2, 0)

且与两平面

x + 2 y + 2 z = 1

和

x + y - 3 z = 2

平行的直线方程．

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11. 设

z = f (x + y, \frac{x}{y})

，且

f

具有二阶连续偏导数，求

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

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12. 计算

\iint_{D} max {x, y} d x d y

，其中

D = {(x, y) ∣ 0 ⩽ x ⩽ 1, 0 ⩽ y ⩽ 1}

．

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13. 计算曲线积分

^{+} \int_{L} 18 y d s

，其中

L

是曲线

y = x^{3}

上点

(0, 0)

到点

(1, 1)

的一段弧．

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14. 计算

∭_{Ω} z d x d y d z

，其中

Ω

是由曲面

x^{2} + y^{2} = 2 z

以及平面

z - 2

所围成的闭区域．

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15. 计算

\iint_{Σ} x z d x d y

，其中

Σ

是柱面

x^{2} + z^{2} = 1

被平面

y = 0

及

y = 2

所截得的在第一卦限的部分的外侧．

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16. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n + 1} x^{n}

的收敛域及和函数．

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17. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内具有一阶连续导数，

L

是上半平面

(y > 0)

内的有向分段光滑曲线，其起点为

(a, b)

，终点为

(c, d)

．记

\begin{aligned} I = & \int_{L} \frac{1}{y} [1 + y^{2} f (x y)] d x \\ + \frac{x}{y^{2}} [y^{2} f (x y) - 1] d y \end{aligned}

证明：
（1）曲线积分

I

与路径无关；
（2）当

a b = c d

时，

I = \frac{c}{d} - \frac{a}{b}

．

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