单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本, $\mu$ 是未知参数, $X$ 是样本均值，则下列各式是统计量的为（）。
$\text{A.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$
$\text{B.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$
$\text{C.}$ $\bar{X}-\mu$
$\text{D.}$ $(\bar{X}-\mu)^2+\sigma^2$
设 $X \sim N(0,1), X_1, X_2, \cdots, X_7$ 是来自总体 $X$ 的样本, $\frac{c \sum_{i=1}^4 X_i}{\sqrt{X_5^2+X_5^2+X_7^2}}(c>0)$ 服从 $t(n)$ 分布,则 $(c, n)$ 为
$\text{A.}$ $(\sqrt{3}, 3)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 3\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 4\right)$
$\text{D.}$ $(\sqrt{3}, 2)$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $X \sim N(0,1)$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本均值, $S^2$ 为样本方差，则
$\text{A.}$ $n \bar{X} \sim N(0,1)$
$\text{B.}$ $n S^2 \sim \chi^2(n)$
$\text{C.}$ $\frac{(n-1) \bar{X}}{S} \sim t(n-1)$
$\text{D.}$ $\frac{(n-1) X_1^2}{\sum_{i=2}^n X_i^2} \sim F(1, n-1)$
设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的一个简单随机样本, 则参数 $\lambda$ 的矩估计量为 ( )。
$\text{A.}$ $\frac{1}{2 \bar{X}}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{\bar{X}}$
$\text{C.}$ $\bar{X}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \bar{X}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立且都服从正态分布 $N\left(0,3^2\right)$, 而 $X_1, \cdots, X_9$ 和 $Y_1, \cdots, Y_9$ 分别是来自总体 $X$ 和 $Y$ 的简单随机样本, 则统计量 $U=\frac{X_1+\cdots+X_9}{\sqrt{Y_1^2+\cdots+Y_9^2}}$ 服从 $\qquad$分布, 参数为
设 $x_1, x_2, \cdots, x_5$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ 的样本观测值, 若 $\sum_{i=1}^3 x_i=5, \sum_{i=1}^{\infty} x_i^2=9$, 则样本方差 $s^2=$
设 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本, 则统计量 $Y=\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu^2\right.$ 服从 $\qquad$分布, 其自由度为 $\qquad$ .
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本, 记统计量 $T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$, 则 $E T=$ .
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
从装有 1 个白球和 2 个黑球的罐子里有放回地取球, 记
$$
X=\left\{\begin{array}{l}
0, \text { 取到白球, } \\
1, \text { 取到黑球, }
\end{array}\right.
$$
这样连续取 5 次得样本 $X_1, X_2, X_3, X_4, X_5$. 记 $Y=X_1+X_2+\cdots+X_5$, 求:
(1) $Y$ 的分布律, $E Y, E\left(Y^2\right)$;
(2) $E \bar{X}, E\left(S^2\right)$ (其中 $\bar{X}, S^2$ 分别为样本 $X_1, X_2, \cdots, X_5$ 的样本均值与样本方差).
口袋里有 $N$ 个大小相同重量相等的球, 每个球上写上号码 $k, k=1,2, \cdots, N$, 从中任取一个球,设其号码为 $X$, 又 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \leqslant N)$ 为取自总体 $X$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的样本均值, 将 $E \bar{X}, D \bar{X}$ 表示为 $N$ 的函数.