解答题 （共 30 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}[\ln (1+x)-\ln (x-1)] x$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{x^2}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}[(x+2) \ln (x+2)-2(x+1) \ln (x+1)+x \ln x] x$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^{\frac{1}{x}}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow+0}(\cos \sqrt{x})^{\frac{1}{x}}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right]^{\cot x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}(\sin x+\cos x)^{\frac{1}{x}}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(\sin x)^{\tan ^2 x}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2 x^2-x+1}{2 x^2+x-1}\right)^x$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2 x+1}{2 x-1}\right)^{3 x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}(1-2 x)^{\frac{1}{x}}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \cos ^x \frac{\pi}{\sqrt{x}}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \alpha}\left(\frac{\cos x}{\cos \alpha}\right)^{\frac{1}{x-\alpha}} \quad\left(\alpha \neq k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in Z\right.$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(x_0+x\right)+\ln \left(x_0-x\right)-2 \ln x_0}{x^2} \quad\left(x_0>0\right)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left(1+e^{a x}\right) \ln \left(1+\frac{b}{x}\right) \quad(a, b$ 为常数, 且 $a>0)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (\sec x+\tan x)}{\sin x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^2\left(a^{\frac{1}{x}}-a^{\frac{1}{x+1}}\right) \quad(a>0, a \neq 1)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+x a^x}{1+x b^x}\right)^{\frac{1}{x^2}} \quad(a>0, b>0$ 且 $a \neq 1, b \neq 1, a \neq b)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{5 x}-1}{x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x+e^{-x}-2}{x^2}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\tan x}-e^{3 x}}{\sin x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{3 x}-1}{x} \quad(a>0, a \neq 1)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{a^x-a^a}{x-a},(a>0, a \neq 1)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{\ln x-\ln x_0}{x-x_0} \quad\left(x_0>0\right)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^n-1}{x-1}$, ( $n$ 为任意实数).
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}, \quad(a>0, b>0)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(a x+e^{b x}\right)^{\frac{1}{x}},(a, b$ 为正的常数)
证明不等式: $\ln \left(1+\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}$. (其中 $n$ 为正整数)
设 $\alpha(x)=x^3-3 x+2, \beta(x)=c(x-1)^n$,确定 $c$ 及 $n$, 使当 $x \rightarrow 1$ 时, $\alpha(x) \sim \beta(x)$
设 $f(x)=\sqrt{x+2}-2 \sqrt{x+1}+\sqrt{x}, g(x)=\frac{A}{x^k}$,确定 $k$ 及 $A$, 使当 $x \rightarrow+\infty$ 时, $f(x) \sim g(x)$.