单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1, \beta _2$ 都是 4 维列向量, 且 4 阶行列式 $\left| \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1\right|=m,\left| \alpha _1, \alpha _2, \beta _2, \alpha _3\right|=n$, 则 4 阶行列式 $\left| \alpha _3, \alpha _2, \alpha _1, \beta _1+ \beta _2\right|$ 等于
$\text{A.}$ $m+n$
$\text{B.}$ $-(m+n)$
$\text{C.}$ $n-m$
$\text{D.}$ $m-n$
设 $D=\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|, A_{i j}$ 为 $D$ 的 $(i, j)$ 元的代数余子式, 则 $A_{31}+2 A_{32}+3 A_{33}=$
$\text{A.}$ $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|$
$\text{B.}$ $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right|$
$\text{C.}$ $\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & 2 \\ a_{31} & a_{32} & 3\end{array}\right|$
$\text{D.}$ $\left|\begin{array}{llc}a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & -2 \\ a_{31} & a_{32} & 3\end{array}\right|$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}
-1 & -1 & -1 & -1 \\
-1 & -1 & -1 & 1 \\
-1 & -1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1 & 1
\end{array}\right|$
计算 $\left|\begin{array}{cccc}
1 & b_1 & 0 & 0 \\
-1 & 1-b_1 & b_2 & 0 \\
0 & -1 & 1-b_2 & b_3 \\
0 & 0 & -1 & 1-b_3
\end{array}\right|=$
计算$\left|\begin{array}{cccc}
-a_1 & 0 & 0 & 1 \\
a_1 & -a_2 & 0 & 1 \\
0 & a_2 & -a_3 & 1 \\
0 & 0 & a_3 & 1
\end{array}\right|=$
已知方程 $\left|\begin{array}{ccc}x-2 & 0 & 0 \\ -3 & x-1 & a \\ 2 & a & x-1\end{array}\right|=0$ 有二重根, 求满足条件的常数 $a$ 及方程的根.
设 $A =\left[ \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right]$ 是 3 阶矩阵, 且 $| A |=4$, 若
$$
B =\left[ \alpha _1-3 \alpha _2+2 \alpha _3, \alpha _2-2 \alpha _3, 2 \alpha _2+ \alpha _3\right],
$$
则 $| B |=$