填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=a_n+\frac{2}{a_n}$, 且 $a_1=2024$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{\sqrt{n}}=$
设 $x>0$, 则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} e ^{n(\sqrt[n]{x}-1)}=$
函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \sqrt[n]{n}}\left[\frac{x}{2 x+1}\right]^n$ 的收敛域为
计算积分 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\pi \cos ^2 x}{x(\pi-2 x)} d x=$
设 $C$ 是从 $(1,0)$ 沿着 $x^2+y^2=x$ 到 $(0,0)$ 的曲线, 则曲线积分
$\int_C\left(-e^x \cos y-y^2\right) d x+e^x \sin y d y=$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导, $f(0)=f(1)=0$, 且对任意 $x \in(0,1)$,均有 $f(x) \neq 0$, 且 $\int_0^1\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| d x$ 存在, 证明: $\int_0^1\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| d x \geq 4$.
讨论函数项级数 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x^a e ^{-\sqrt{n} x}$ 关于 $x$ 在 $[0, \infty)$ 上的连续性.