单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\left|\begin{array}{cccc}2 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 3 & 0 & a & b \\ 1 & -3 & 5 & 0\end{array}\right|=A_{41}-A_{42}+A_{43}+10$ ，其中 $A_{i j}$ 为元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $a, b$ 的值为
$\text{A.}$ $a=4, b=1$
$\text{B.}$ $a=1, b=4$
$\text{C.}$ $a=4, b$ 为任意常数
$\text{D.}$ $a=1, b$ 为任意常数
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
计算 $$
\left|\begin{array}{cccc}
2 & 1 & 0 & -1 \\
-1 & 2 & -5 & 3 \\
3 & 0 & a & b \\
1 & -3 & 5 & 0
\end{array}\right|-\left|\begin{array}{cccc}
2 & 1 & 0 & -1 \\
-1 & 2 & -5 & 3 \\
3 & 0 & a & b \\
1 & -1 & 1 & 0
\end{array}\right|=
$$
设 $A =\left[ a _1, a _2, \alpha _3\right]$ 是3阶矩阵，且 $| A |=5$ ，若
$$
B=\left[\alpha_1-3 \alpha_2+2 \alpha_3, \alpha_2-2 \alpha_3, 2 \alpha_2+\alpha_3\right],
$$
则 $| B |=$
设 $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$| A |=-1$ ，则 $| A + E |=$
设 $A =\left[\begin{array}{lllll}0 & 0 & 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ ，则 $| A |$ 中所有元素的代数余子式之和为
已知 3 阶方阵 $A$ 的特征值为 $-1,2,3$ ，则 $A_{11}+A_{22}+A_{33}=$
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $$\left|\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 1 & x-1 \\
1 & -1 & x+1 & -1 \\
1 & x-1 & 1 & -1 \\
x+1 & -1 & 1 & -1
\end{array}\right|=$$
设 $A =\left[\begin{array}{cccc}-a & -2 & -2 & -2 \\ -2 & a & -2 & -2 \\ -2 & -2 & -b & -2 \\ -2 & -2 & -2 & b\end{array}\right](a b \neq 0), E$ 为 4 阶单位矩阵，则 $|2 E - A |=$
$\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ b+c & a+c & a+b\end{array}\right|=$
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明：$$
\begin{aligned}
&\text { } n \text { 阶行列式 }\\
&D_n=\left|\begin{array}{cccccc}
2 a & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
a^2 & 2 a & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & a^2 & 2 a & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2 a & 1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & a^2 & 2 a
\end{array}\right|=(n+1) a^n .
\end{aligned}
$$