单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B, C$ 是任意三个事件，则下列选项中正确的是（ ）．
$\text{A.}$ 若 $A \cup C=B \cup C$ ，则 $A=B$
$\text{B.}$ 若 $A-C=B-C$ ，则 $A=B$
$\text{C.}$ 若 $A C=B C$ ，则 $A=B$
$\text{D.}$ 若 $A B=\varnothing$ 且 $\bar{A} \bar{B}=\varnothing$ ，则 $\bar{A}=B$
设 $A$ 和 $B$ 是任意两个事件，则下列两个命题，（ ）．
（1）若 $P(A)=P(B)$ ，则 $A=B$ ；
（2）若 $P(A B)=0$ ，则 $A B=\varnothing$ ．
（2）不正确
$\text{A.}$ （1）正确，
$\text{B.}$ （1）不正确，（2）正确
$\text{C.}$ （1），（2）均正确
$\text{D.}$ （1），（2）均不正确
考虑一元二次方程 $x^2+B x+C=0$ ，其中 $B, C$ 分别是将一枚骰子接连抛两次先后出现的点数，则该方程有实根的概率为（）。
$\text{A.}$ $\frac{19}{36}$
$\text{B.}$ $\frac{17}{36}$
$\text{C.}$ $\frac{15}{36}$
$\text{D.}$ $\frac{13}{36}$
甲口袋有 5 个白球， 3 个黑球，乙口袋有 4 个白球， 6 个黑球．从两个口袋中各任取一个球，则取到的两个球颜色相同的概率为（ ）。
$\text{A.}$ $\frac{19}{40}$
$\text{B.}$ $\frac{21}{40}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{9}{40}$
设 $A, B, C$ 为三个随机事件，且 $A$ 与 $C$ 相互独立，$B$ 与 $C$ 相互独立，则 $A \cup B$ 与 $C$ 相互独立的充分必要条件是（ ）。
$\text{A.}$ $A$ 与 $B$ 相互独立
$\text{B.}$ $A$ 与 $B$ 互不相容
$\text{C.}$ $A B$ 与 $C$ 相互独立
$\text{D.}$ $A B$ 与 $C$ 互不相容
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
从 $[0,1]$ 中随机地取两个数，其积大于 $\frac{1}{4}$ ，其和小于 $\frac{5}{4}$ 的概率为
已知事件 $A, B$ 满足 $P(A B)=P(\bar{A} \cap \bar{B})$ ，记 $P(A)=p$ ，则 $P(B)=$
已知 $P(A)=0.7, P(A-B)=0.3$ ，则 $P(\overline{A B})=$
已知 $P(\bar{A})=0.3, P(B)=0.4, P(A \bar{B})=0.5$ ，则 $P(B \mid A \cup \bar{B})=$
设 $A, B$ 为两个随机事件，且 $P(A)=0.4, P(A \cup B)=0.7$ ．若 $A, B$ 互不相容，则 $P(B)=$ $\qquad$ ；若 $A, B$ 相互独立，则 $P(B)=$ $\qquad$ ；若 $A$ 发生 $B$ 必发生，则 $P(B)=$ $\qquad$ ．
三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为 $\frac{1}{5}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ ，则此密码被译出的概率为
三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为 $\frac{1}{5}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ ，则此密码被译出的概率为
甲，乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.7 ．现已知目标被击中，则它是甲射中的概率为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
用事件 $A, B, C$ 的运算关系表示事件：（1）$A, B, C$ 都不发生；（2）$A, B, C$ 不都发生； （3）$A, B, C$ 不多于一个发生．
随机地向半圆 $0 < y < \sqrt{2 a x-x^2}(a>0)$ 内投掷一点，点均匀落在半圆内任何一个区域，求该点和原点连线同 $x$ 轴的夹角 $\theta \leqslant \frac{\pi}{4}$ 的概率．
口袋中有 1 个球，不知它的颜色是黑的还是白的，现再往口袋中放人 1 个白球，然后从口袋中任意取出 1 个，发现取出的是白球，求口袋中原来那个球是白球的概率．
已知装有同种零件的产品两箱，第一箱内装 50 件产品，其中一等品 10 件；第二箱内装 30件产品，其中一等品 18 件，现从两箱中任意挑选一箱．求：从中先后取出两件产品（取后不放回），先取出的产品是一等品的概率 $p$ ；已知先取出的产品是一等品，那么第二次取出的产品仍然是一等品的概率 $q$ ．
每箱产品有 10 件，其次品数从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中任取 1 件，如检验出是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，将 1 件正品误认为次品的概率为 $2 \%, 1$ 件次品被漏查而判为正品的概率为 $5 \%$ ，求该箱产品通过验收的概率．