单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设 $F_1(x), F_2(x)$ 是随机变量的分布函数，$f_1(x), f_2(x)$ 是相应的概率密度，则 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $F_1(x)+F_2(x)$ 是分布函数
$\text{B.}$ $F_1(x) \cdot F_2(x)$ 是分布函数
$\text{C.}$ $f_1(x)+f_2(x)$ 是概率密度
$\text{D.}$ $f_1(x) \cdot f_2(x)$ 是概率密度
通过某交叉路口的汽车流可以看作服从泊松分布．已知在 1 分钟内有汽车通过的概率为 0.7 ，则 1 分钟内最多有 1 辆汽车通过的概率为（ ）。
$\text{A.}$ $0.7(1-\ln 0.7)$
$\text{B.}$ $0.3(1-\ln 0.7)$
$\text{C.}$ $0.3(1-\ln 0.3)$
$\text{D.}$ $0.7(1-\ln 0.3)$
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,1)$ ，对给定的 $\alpha(0 < \alpha < 1)$ ，数 $u_\alpha$ 满足 $P\left\{X>u_\alpha\right\}=\alpha$ ，若 $P\{|X| < x\}=\alpha$ ，则 $x$ 等于（ ）．
$\text{A.}$ $u_{\frac{\alpha}{2}}$
$\text{B.}$ $u_{1-\frac{\alpha}{2}}$
$\text{C.}$ $u_{\frac{1-\alpha}{2}}$
$\text{D.}$ $u_{1-\alpha}$
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，概率密度为 $f(x)$ ．当 $x \leqslant 0$ 时，$f(x)$ 连续，且 $f(x)=F(x)$ ，若 $F(0)=1$ ，则 $f(x)=$ $\qquad$
已知 $X$ 为随机变量，$Y=X^2+X+1$ ，已知 $X$ 的概率分布为 $P\{X=-1\}=P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac{1}{3}$ ，则 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)=$ $\qquad$ ．
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设随机变量 $X$ 的分布函数为
$$
F(x)= \begin{cases}a+b e^{-x}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0 .\end{cases}
$$
已知随机变量 $X$ 的概率分布为
且 $P\{X \geqslant 2\}=\frac{3}{4}$ ，求未知参数 $\theta$ 及 $X$ 的分布函数 $F(x)$ ．
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2^{-x} \ln 2, & x>0, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 对 $X$ 进行独立重复的观测，直到第 2个大于 3 的观测值出现时停止，记 $Y$ 为观测次数．求 $Y$ 的概率分布．
某元件的工作寿命 $X$（小时）服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的指数分布．
（1）求该元件正常工作 $t$ 小时的概率；
（2）已知该元件已正常工作 10 小时，求在此基础上再工作 10 小时的概率 $(\lambda=0.01)$ ．
设 $X \sim N\left(2, \sigma^2\right)$ ，且 $P\{2 < X < 4\}=0.3$ ，则 $P\{X < 0\}=$ $\qquad$ ．
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 同分布，$X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{3}{8} x^2, & 0 < x < 2, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
已知事件 $A=\{X>a\}$ 和 $B=\{Y>a\}$ 独立，且 $P(A \cup B)=\frac{3}{4}$ ，则常数 $a=$ $\qquad$ ．
20 个产品中有 5 个不合格品，若从中随机取出 8 个，求其中不合格品数 $X$ 的概率分布．
已知离散型随机变量 $X$ 的正概率点为 $-1,0,2$ ，它们各自的概率互不相等且成等差数列．
（1）求 $X$ 的分布律；
（2）求 $X$ 的分布函数；
（3）求 $P\{|X| \leqslant 1 \mid X \geqslant 0\}$ ．
随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}x, & 0 \leqslant x < 1, \\ 2-x, & 1 \leqslant x < 2, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
求 $X$ 的分布函数 $F(x)$ ．
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_X(x)=\frac{k}{1+x^2}(x \in R )$ ．求：
（1）常数 $k$ ；
（2）随机变量 $Y=1-\sqrt[3]{X}$ 的概率密度 $f_Y(y)$ ．
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\frac{ e ^x}{\left(1+ e ^x\right)^2},-\infty < x < +\infty$ ，令 $Y= e ^X$ ．
（1）求 $X$ 的分布函数；
（2）求 $Y$ 的概率密度．
设随机变量 $X \sim U(-1,2)$ ，求 $Y=|X|$ 的概率密度．