解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[0, a], a>0$ 上连续，$f(0)=0$ ，在 $x \in(0, a)$ 内 $f^{\prime}(x)$ 单增，若令 $F(x)=\frac{f(x)}{x}$ ，证明：当 $x \in(0, a)$ 时，$F(x)$ 单增．
设 $f(x)=\int_1^x\left(1-\frac{1}{\sqrt{t}}\right) d t,(x \geqslant 0)$（见图），求 $f(x)$ 的单减区间．
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 内可导，$f(0)=1$ 且 $\left|f^{\prime}(x)\right| < f(x)$ ，证明：当 $x>0$ 时，$f(x) < e ^x$ ．