解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f^{\prime}(-x)=x\left[f^{\prime}(x)-1\right]$ ，求 $f(x)$ ．
设 $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ 存在，且有 $f(x)=5 x^3+2 x^2-x^{\frac{1}{1-x}} \lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ ，求 $f(x)$
设 $f(x)$ 为多项式，并满足方程 $x f^{\prime \prime}(x)+(1-x) f^{\prime}(x)+3 f(x)=0, f(0)=1$ ，求 $f(x)$ ．
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 内连续，$f(1)=3$ ，又 $\forall x, y \in(0,+\infty)$ ，恒有
$$
\int_1^{x y} f(t) d t=y \int_1^x f(t) d t+x \int_1^y f(t) d t,
$$
求 $f(x)$ ．
设 $f(x)$ 二阶可导，且有 $x=\int_0^x f(t) d t+\int_0^x t f(t-x) d t$ ，求 $f(x)$ ．
设 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上连续，且有 $f(x)=\frac{x}{1+\cos ^2 x}+\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin x d x$ ，求 $f(x)$ ．
设区 域 $D$ 由 $x^2+y^2 \leqslant y$ 和 $x \geqslant 0$ 所确定，$f(x, y)$ 为 $D$ 上的连续函数，且 $f(x, y)=\sqrt{1-x^2-y^2}-\frac{8}{\pi} \iint_D f(u, v) d u d v$ ，求 $f(x, y)$ ．
设 $u=f(x y z), \frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z}=x^2 y^2 z^2 f^{\prime \prime \prime}(x y z)$ ，求 $f(x)$ ．
设 $b>a>0$ ，证明： $1-\frac{a}{b} < \ln \frac{b}{a} < \frac{b}{a}-1$ ；
证明：当 $b>a>0$ 时， $\ln \frac{b}{a}>\frac{2(b-a)}{a+b}$ ．
试证明：$(x+y) \ln \frac{x+y}{2} \leqslant x \ln x+y \ln y,(x>0, y>0)$ ．
证明：对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$ ，有 $1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \geqslant \sqrt{1+x^2}$ ．