单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 为正项级数，下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} n u_n=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2 u_n=0$
$\text{C.}$ 若存在非零常数 $\lambda$ ，使 $\lim _{n \rightarrow \infty} n u_n=\lambda$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散
$\text{D.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，则存在非零常数 $\lambda$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} n u_n=\lambda$
设常数 $\alpha>2$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{\ln n!}{n^\alpha} $ ．
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 敛散性与 $\alpha$ 有关
设 $u_n \neq 0(n=1,2, \cdots)$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{u_n}=1$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)$
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 条件收敛
$\text{D.}$ 敛散性不定
设有两个数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ ，若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$ ，则
$\text{A.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 收敛
$\text{B.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 发散
$\text{C.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_n\right|$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 b_n^2$ 收敛
$\text{D.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_n\right|$ 发散时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 b_n^2$ 发散
以下说法正确的是
$\text{A.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2014}$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2015}$ 条件收敛
$\text{B.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2014}$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2015}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2015}$ 条件收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2014}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2015}$ 绝对收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2014}$ 条件收敛
设 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n u_n 2^n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$
$\text{A.}$ 条件收敛
$\text{B.}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 敛散性不定
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
判断$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ 敛散性，如果收敛求其和
判断 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ 敛散性，如果收敛求其和
判断$ \sum_{n=2}^{\infty}\left(1-\frac{2 \ln n}{n^2}\right)^{n^2}$ 敛散性
判断敛散性 $\sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n+(-1)^n}$ ；
判断敛散性 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{\pi}{n}\right)$ ；
判断敛散性 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n}{1+a^{2 n}}(a>0)$ ；
判断敛散性 $\sum_{n=1}^{\infty} \int_0^{\frac{1}{n}} \frac{\sqrt{x}}{1+x^2} d x$ ；
判断敛散性 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{\frac{4}{3}}}$ ；
判断敛散性 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right)(a>1)$ ；
判断 敛散性 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n n!}{n^n}(a>0)$ ；
判断敛散性 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right)$ ．
判断 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^2+a^2}\right)$ 敛散性
判别级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\left[n+(-1)^n\right]^p}(p>0)$ 的敛散性（包括绝对收敛或条件收敛）．
判定 $\sum_{n=1}^{\infty} n^2 \tan \frac{\pi}{2^n} \sin (n!)$ 的敛散性．
设极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n u_n$ 存在，证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 收敛．