填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若三阶行列式 $D$ 中第 3 行的元素依次为 $1, ~ 2, ~ 3$ ，它们的余子式分别为 $2, ~ 3, ~ 4$ ，则 $D=$
若矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & -4 & 2 \\ -1 & 4 & -2\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -1 & 3 \\ 5 & -2\end{array}\right)$ ，则 $A B$ 的第 2 行第 1 列的元素为
若三阶方阵 $A$ 的逆矩阵 $A -1=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right)$ ，则 $\left( A _T\right)^{-1}=$
若 $A$ 为三阶方阵，且 $| A |=2$ ，则 $|-2 A _T|=$
已知矩阵 $A =\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 4\end{array}\right)$ ，则 $A ^*=$
已知线性方程组 $A X =\beta$ 有解，若系数矩阵的秩 $r ( A )=4$ ，则增广矩阵的秩 $r (\overline{ A })=$
设向量组 $\alpha_1=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}3 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}0 \\ 3 \\ \lambda\end{array}\right)$ 线性相关，则 $\lambda=$
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 3 \\ x & y & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 有三个特征值为 $0, ~ 1$ 和 2 ，则 $x=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\left|\begin{array}{cccc}4 & -2 & 5 & 1 \\ -2 & 3 & 3 & -1 \\ 0 & 4 & 0 & -4 \\ 1 & 4 & -2 & 1\end{array}\right|$
计算 $D_{2 n}=\left|\begin{array}{llllllll}a_n & & & & & & & \\ & a_{n-1} & & & & & b_{n-1} \\ & & \ddots & & & . & \\ \\ & & & a_1 & b_1 & & & \\ & & & c_1 & d_1 & & & \\ & & . & & & \ddots & & \\ & c_{n-1} & & & & & d_{n-1} & \\ c_n & & & & & & & d_n\end{array}\right|$
解矩阵方程 $A X = B$ ，其中 $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 3 & 1 \\ 4 & 3\end{array}\right)$
求向量组 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 3 \\ 2\end{array}\right), \alpha_4=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)$ 的秩及一个最大无关组。
求非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1-x_2-x_3+x_4=-2 \\ 2 x_1-2 x_2+x_3-x_4=2\end{array}\right.$ 的通解．
已知二次型 $f(x)=a x_1^2+x_2+3 x_3-2 x_1 x_2$ 的秩为 2 ，
a）写出二次型所对应的矩阵 $A$ ，并求参数 $a$
b）求出二次型所对应的矩阵 $A$ 的特征值
c）求正交变换 $X=P Y$ ，把二次型化成标准形（不写正交变换）．