解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0,0 < \varphi < \pi)$ 的部分图像如图所示．
（I）求 $f(x)$ 的解析式；
（II）若 $f(x)$ 在区间 $[\pi, m)(m>\pi)$ 上存在最小值，求实数 $m$ 的取值范围．
如图，在几何体 $A B C D P Q$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C D, Q C / / P A$ ，且 $Q C=\frac{1}{2} P A$ ，四边形 $A B C D$ 为菱形，$P A=A D=2, \angle B A D=120^{\circ}$ ．
（ I ）求证：$B D \perp P Q$ ；
（II）求平面 $B P Q$ 与平面 $D P Q$ 夹角的余弦值．
在直角坐标系 $x O y$ 中，已知拖物线 $y^2=8 x$ 上两动点 $A, B$ 满足 $O A \perp O B$ ．
（ I ）证明：直线 $A B$ 过定点；
（II）设直线 $A B$ 过定点 $P$ ，以 $O P$ 为直径作圆 $E$ ，过点 $(2,0)$ 且斜率为 $k(k \neq 0)$ 的直线 $l$ 与 $E$交于 $C, D$ 两点，将圆 $E$ 沿 $x$ 轴折起，使平而 $C O x \perp$ 平面 $D O x$ ，求折起后 $C D$ 的长度的取值范围。
（ I ）证明：$k C _n^k=n C _{n-1}^{k-1}$ ，其中 $n, k \in N ^*$ ，且 $2 \leqslant k \leqslant n$ ．
（II）证明：若 $X$ 服从二项分布 $B(n, p)$ ，则 $E(X)=n p$ ．
（III）甲，乙两人进行乒乓球比赛，每局甲放的概率为 $p\left(\frac{1}{2} < p < 1\right)$ ，乙噺的概率为 $q=$ $1-p$ ．双方约定比满 $(2 n-1)$ 局，赢的局数多的人获胜．设甲获胜的概率为 $P_n$ ，证明 $\left\{P_n\right\}$ 是递增数列，并说明该结论的实际含义．
已知函数 $f(x)=\frac{ e ^x-b}{a x}$ 的图象在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $x-y+ e -2=0$ ．
（I）求 $a, b$ 的值．
（II）若正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $a_{n+1}=\ln f\left(a_n\right), a_1=3$ ，证明：
（ i ）$a_{n+1} < a_n$ ；
（ ii ）$S_n \geqslant \frac{9}{2}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)$ ．