解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $P(z)=a_0 z^n+a_1 z^{n-1}+\cdots+a_n\left(a_0 \neq 0\right)$ 求证 $P(z)$ 在 $C_{\infty}$ 上是广义连续函数。
$f(z)= e ^x(\cos y+ i \sin y) \quad(z=x+ i y)$ 能否补充定义 $f(\infty)$ 之值，使之成为在点 $\infty$ 广义连续的函数？
设 $z=1-\cos \theta+ i \sin \theta$ ，求 $z$ 的指数形式．
若复数 $z_1, z_2, z_3$ 满足等式
$$
\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}=\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3} .
$$
试证 $\left|z_2-z_1\right|=\left|z_3-z_1\right|=\left|z_2-z_3\right|$ ，并说明几何意义．
$z \bar{z}-(2+ i ) z-(2- i ) \bar{z} \leqslant 4$ ．的点集是什么？如果是区域，是单连通还是多连通？
满足下式的点 $z=r(\cos \theta+ i \sin \theta)$ 是否为区域，若是区域，是单连通还是多连通？
$$
\cos \theta < r < 2 \cos \theta,-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} .
$$
求在变换 $w=z+\frac{1}{z}$ 下，圆周 $|z|=2$ 的像．
求极限$ \lim _{z \rightarrow 0}\left(\frac{z}{\bar{z}}+\frac{\bar{z}}{z}\right) \text {. }$