单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
下列命题中正确的是（ ）
$\text{A.}$ 对于任意复数 $z(\neq \infty), e ^z>0$ ．
$\text{B.}$ $f(z)= e ^{\bar{z}}$ 是 $z$ 的解析函数．
$\text{C.}$ 对于任意复数 $z, \overline{ e ^z}= e ^{\bar{z}}$ ．
$\text{D.}$ $f(z)= e ^{\frac{z}{3}}$ 的周期为 $\pi i$ ．
设 $f(z)=\sin z$ ，则下列命题中不正确的是（ ）．
$\text{A.}$ $f(z)$ 在复平面上处处解析
$\text{B.}$ $f(z)$ 以 $2 \pi$ 为周期
$\text{C.}$ $\overline{f(z)}=f(\bar{z})$
$\text{D.}$ $|f(z)| \leqslant 1$
设 $f(z)=\sqrt[4]{z(1-z)^3}$ ，在将 $z$ 平面适当割开后，函数 $f(z)$ 能分出四个单值解析分支．则在割线上岸取正值的那一支在 $z=-1$ 的值为（ ）。
$\text{A.}$ $\sqrt[4]{2}(1- i )$
$\text{B.}$ $\sqrt[4]{2}(1+ i )$
$\text{C.}$ $\sqrt[4]{2}(-1+ i )$
$\text{D.}$ $\sqrt[4]{2}(-1- i )$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
当 $z=$ $\qquad$ ， $e ^z$ 的值为实数．
设 $f(z)=\sqrt{\left(1-z^2\right)^2\left(1-k^1 z^2\right)} \quad(0 < k < 1)$ ，则 $f(z)$ 的支点为 $\qquad$ ．
设 $f(z)=\sqrt[3]{\frac{(z+1)(z-1)^2(z-2)^3}{z^4(z+3)^4}}$ ，则其支点为 $\qquad$ ．
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
当 $z=x+ i y$ 时，试证 $|\sin z| \geqslant \frac{1}{2}\left| e ^{-y}- e ^y\right|$
当 $z=x+ i y$ 时，试证 $|\tan z| \geqslant \frac{\left| e ^y- e ^{-y}\right|}{ e ^y+ e ^{-y}}$
方程 $e ^{2 z}+ e ^z+1=0$ 的解为 $\qquad$ ．
设 $z=x+ i y$ ，则 $1^z=$ $\qquad$ ．
函数 $f(z)=\sqrt[3]{\frac{(z+1)(z-1)(z-2)}{z}}$ 在 $z=3$ 时取正值的那一支在 $z= i$ 的值为 $\qquad$ ．