解答题 （共 20 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $x^2-y^2=1$ ，求 $\frac{1}{x^2}-\frac{y}{x}$ 的取值范围．
求椭圆 $x^2-2 x y+2 y^2=4$ 的面积．
求 $\sqrt{3-2 x}+\sqrt{3 x}$ 的最大值与最小值之和．
求 $\sqrt{x^2-2 x+10}-\sqrt{x^2-4 x+5}$ 的值域．
满足 $\overline{a b}=a^2+b^3$ 的两位数的个数．
已知 $P(x)=x^3+b x^2+c x+d$ ，且 $P(1)=2025, P(2)=4050$ ，求 $P(5)-P(-2)$
已知 $z_1$ 在 2 与 2 i 的线段上，$\left|z_2\right|=1$ ，求 $z_1+2 z_2$ 在复平面上扫过的面积．
已知 $a^{a^3}=3$ ，求 $a^6$ ．
已知 $2 x^2+y^2=1$ ，求 $x+2 y$ 最大值．
已知 $|2 a-b|=|a+2 b|=1$ ，求 $|3 a+4 b|$ 的最大值．
求 $\frac{x y+2 y z}{x^2+y^2+z^2}$ 的最大值．
$a, b \in Z$ ，使得 $x^{2025}=2025-a x=2026-b x$ 有解的 $(a, b)$ 有几组．
若 $\alpha, \beta$ 是 $3 \cos x+2 \sin x=c$ 的两解，且 $\alpha-\beta \neq k \pi(k \in Z )$ ，求 $\tan (\alpha+\beta)$ ．
$\sum_{i=1}^{1012}(-1)^{i+1} \cos \frac{i \pi}{2025}=$
满足各位数字由 $2,4,6,8$ 组成，且含偶数个 2 的 2025 位数有几个
$S=\{1,2, \cdots, 2025\}$ 满足 $A, B \subseteq S, A \cap B \neq \varnothing$ 的二元集 $\{A, B\}$ 有几个．
求 $\sum_{i=1}^{2025}\left[\log _2 n\right]$ ．
$z^6+z^4+z^3+z^2+1=0$ 所有正虚部的根之积为 $P$ ，则 $\arg (P)=$
$x^3+a x^2-(1-a)^2=0$ 有三个不同的实根 $x_1, x_2, x_3$ ，且 $\frac{x_1}{x_2 x_3}+\frac{x_2}{x_1 x_3}+\frac{x_3}{x_1 x_2}>\frac{3}{2}$ ，则 $a$ 的取值范围为
$\triangle A B C$ 中，$D$ 在 $B C$ 上，$A D$ 平分 $\angle B A C, A B=A D=2, B D=1$ ，求 $C D$ ．