解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\int_0^3 \arcsin \sqrt{\frac{x}{1+x}} d x$ 。
$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x \sec ^2 x}{(1+\tan x)^2} d x$ ．
已知 $f(\pi)=2, \int_0^\pi\left[f(x)+f^{\prime \prime}(x)\right] \sin x d x=5$ ，求 $f(0)$ ．
设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上可导，且 $f(0)=f(2)=1,\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1$ ．证明：
$$
1 \leq \int_0^2 f(x) d x \leq 3
$$