单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\cos x, & x \geq 0 \\ \sin x, & x < 0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.\right.$ 那么在区间 $(-1,1)$ 内
$\text{A.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 都存在原函数
$\text{B.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 都不存在原函数
$\text{C.}$ $f(x)$ 存在原函数，$g(x)$ 不存在原函数
$\text{D.}$ $f(x)$ 不存在原函数，$g(x)$ 存在原函数
如果 $\sin x+x \cos x$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int f^{\prime}(x) d x=$ ．
$\text{A.}$ $-x \sin x+2 \cos x+C$
$\text{B.}$ $\sin x-x \cos x+C$
$\text{C.}$ $\sin x+x \cos x+C$
$\text{D.}$ $-\sin x-x \cos x+C$
设 $I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \ln \sin x d x, \quad J=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \ln \cot x d x, \quad K=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \ln \cos x d x$ ，则 $I, J, K$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $I < J < K$
$\text{B.}$ $I < K < J$
$\text{C.}$ $J < I < K$
$\text{D.}$ $K < J < I$
解答题 （共 21 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求下列不定积分
（1） $\int \frac{-1}{x^4} d x$ ；
（2） $\int \frac{d x}{2-2 x^2}$ ．
求下列不定积分：
（1） $\int \frac{(1-2 x)^2}{x^2} d x$ ；
（2） $\int \frac{\cos 2 x}{\cos ^2 x \sin ^2 x} d x$ ．
$\int 2 x \sin x^2 d x$ ；
$\int \frac{1}{1+e^{-x}} d x$ ；
$\int \frac{\sec ^2 x+\csc ^2 x}{(\tan x-\cot x)^2} d x$ ；
$\int \sec ^4 x \tan ^2 x d x$;
用分部积分法求不定积分
（1） $\int x \ln ^2 x d x$ ；
（2） $\int \arccos x d x$ ．
求下列有理函数的不定积分
（1） $\int \frac{3}{x\left(x^{10}+1\right)} d x$ ；
（2） $\int \frac{d x}{(x+1)\left(x^2+2 x+2\right)}$ ；
求不定积分：
（1） $\int \frac{d x}{\sin 2 x+2 \sin x}$ ；
（2） $\int \frac{4 \sin x+3 \cos x}{\sin x+2 \cos x} d x$ ．
估计定积分 $\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} x \arctan x d x$ 的值．
计算 $\int_0^{2 \pi} \sin ^n x \cos ^m x d x$（自然数 $n$ 为奇数或 $m$ 为奇数）．
（1） $\int_0^{\frac{\pi}{2}} e ^{2 x} \cos x d x$ ；
（2） $\int_0^1 \frac{x e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^2} d x$ ；
(1) $\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} d x$;
(2) $\int_0^1 \frac{x}{\left(2-x^2\right) \sqrt{1-x^2}} d x$.
计算反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+x) \sqrt{x}} d x$ ．
求星形线 $x=a \cos ^3 t, y=a \sin ^3 t$ 所围成图形的面积．
计算心形线 $\rho=a(1+\cos \theta)(a>0)$ 所围成的图形的面积．
由 $y=x^3, x=2, y=0$ 所围成的图形，分别绕 $x$ 轴及 $y$ 轴旋转，计算所得的旋转体的体积．
求星型线 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos ^3 t \\ y=a \sin ^3 t\end{array}(a>0)\right.$ 绕 $O x$ 轴旋转，所得旋转曲面的面积为
斜边长为 $2 a$ 的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水平面相齐．设重力加速度为 $g$ ，水密度为 $\rho$ ．则该平板一侧所受的水压力为 $\qquad$。
已知某产品总产量的变化率为 $\frac{d Q}{d t}=40+12 t-\frac{3}{2} t^2$（单位／天），求从第 2 天到第 10 天产品的总量．