解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $X$ 与 $Y$ 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
$$
\begin{aligned}
& f_X(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\lambda e^{-\lambda x}, & x>0 \\
0, & x \leqslant 0
\end{array}\right. \\
& f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc}
\mu e^{-\mu y}, & y>0 \\
0, & y \leqslant 0
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$
其中 $\lambda>0, \mu>0$ 为常数．引人随机变量
$$
Z= \begin{cases}1, & X \leqslant Y \\ 0, & X>Y .\end{cases}
$$
（1）试求条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ；
（2）试求 $Z$ 的概率分布和分布函数．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{4}+a x y, & |x| \leqslant 1,|y| \leqslant 1, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array}\right.
$$
其中常数 $a$ 满足 $|a| \leqslant \frac{1}{4}$ ．记随机事件 $A=\{X \geqslant 0\}, B=\{Y \geqslant 0\}$ ，证明以下三个结论相互等价：
（1）$A, B$ 相互独立；（2）$X$ 与 $Y$ 不相关；（3）$X$ 与 $Y$ 相互独立．
设 $X, Y$ 相互独立，均服从 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，求 $E[\min \{X, Y\}], E[\max \{X, Y\}]$ ．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 分别表示将一颗骰子接连抛两次先后出现的点数．试求齐次方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+2 x_2+2 Y x_3=0 \\
x_1+X x_2+2 x_3=0 \\
2 x_1+4 x_2+X^2 x_3=0
\end{array}\right.
$$
的解空间的维数的数学期望和方差．
设总体 $X$ 的概率密度函数为
$$
f(x ; \theta)=\frac{1}{2 \theta} e^{-\frac{|x|}{\theta}},-\infty < x < +\infty,
$$
其中 $\theta>0$ 是末知参数，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的容量为 $n$ 的简单随机样本．
（1）试求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$ ；
（2）试证 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量；
（3）试求 $D(\hat{\theta})$ ．
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的样本，$X$ 的密度函数为
$$
f(x)= \begin{cases}e^{-(x-\theta)}, & x \geqslant \theta, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\theta$ 为末知参数，$-\infty < \theta < +\infty$ ．
（1）试证 $\theta$ 的最大似然估计量为 $X_{(1)}=\min _{1 \leq i \leq n}\left\{X_i\right\}$ ；
（2）试证 $X_{(1)}$ 不是 $\theta$ 的无偏估计量；
（3）试求出 $\theta$ 的一个无偏估计量．
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{\theta} e ^{-\frac{x \mu}{\theta}}, & x \geqslant \mu, \\ 0, & x < \mu,\end{array}\right.$ 其中 $\theta>0, \theta, \mu$ 为参数， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本．
（1）若 $\mu$ 已知，求未知参数 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$ ；
（2）若 $\theta$ 已知，求未知参数 $\mu$ 的最大似然估计量 $\hat{\mu}$ ；
（3）若 $\theta$ 与 $\mu$ 均未知，分别求 $\theta$ 与 $\mu$ 的矩估计量与最大似然估计量．
一袋中装有黑、白两种球，$p$ 表示白球所占的比例，待检验假设为
$$
H_0: p=\frac{1}{2} ; \quad H_1: p=\frac{1}{5} .
$$
从袋中任取 4 个球（放回抽样），当白球数小于 2 时，拒绝 $H_0$ ，否则接受 $H_0$ ．试给出以下内容：
（1）总体及其分布；
（2）样本容量 $n$ ；
（3）拒绝域；
（4）犯第一类错误和第二类错误的概率。