单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $|A|=2$ ，则 $|2 A|=$
$\text{A.}$ $2^n$
$\text{B.}$ $2^{n+1}$
$\text{C.}$ $2^{n-1}$
$\text{D.}$ 2
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，则下列向量组中线性无关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$
$\text{B.}$ $\alpha_1-\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3, \alpha_3-\alpha_1$
$\text{C.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_1+2 \alpha_2+\alpha_3$
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_1+\alpha_2, \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$
设 $A$ 为 3 阶方阵，且 $r(A)=2$ ，则齐次线性方程组 $A x=0$ 的基础解系所含向量的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则
$\text{A.}$ $A$ 的特征值都是实数
$\text{B.}$ $A$ 的特征向量都是实向量
$\text{C.}$ A必可相似对角化
$\text{D.}$ 以上都对
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+3 x_3^2+4 x_1 x_2+6 x_2 x_3$ 的矩阵为
$\text{A.}$ $\begin{array}{rrl}1 & 2 & 0 \\ (2 & 2 & 3) \\ 0 & 3 & 3\end{array}$
$\text{B.}$ $\begin{array}{rrl}1 & 2 & 0 \\ (2 & 2 & 3) \\ 0 & 3 & 3\end{array}$
$\text{C.}$ $\begin{array}{rrl}1 & 2 & 3 \\ (2 & 2 & 3) \\ 3 & 3 & 3\end{array}$
$\text{D.}$ $\begin{array}{rrl}1 & 2 & 3 \\ (2 & 2 & 0) \\ 3 & 0 & 3\end{array}$
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A^2=A$ ，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $A$ 必为单位矩阵
$\text{B.}$ A必为零矩阵
$\text{C.}$ $A$ 的特征值只能是 0 或 1
$\text{D.}$ $A$ 必可相似对角化
设 $A$ 为 3 阶方阵，且 $|A|=3$ ，则 $\left|A^*\right|=$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 9
$\text{C.}$ 27
$\text{D.}$ 81
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $r(A)=n-1$ ，则 $r\left(A^*\right)=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $n-1$
$\text{D.}$ $n$
设 $A$ 为 $n$ 阶正交矩阵，则下列结论错误的是
$\text{A.}$ $A^T=A^{-1}$
$\text{B.}$ $|A|=1$
$\text{C.}$ $A$ 的列向量组是标准正交向量组
$\text{D.}$ $A$ 的行向量组是标准正交向量组
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的特征值为 $1,2, \cdots, n$ ，则 $|A+E|=$
$\text{A.}$ $n!$
$\text{B.}$ $(n+1)$ ！
$\text{C.}$ $n!+1$
$\text{D.}$ $(n+1)!-1$
判断题 （共 5 题 ）
若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $|A|=0$ ，则 $A$ 的列向量组线性相关。
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性相关，则其中任意一个向量都可以由其余向量线性表示。
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则 $A$ 必可相似对角化。
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 的标准形中含有 $r$ 个平方项，则该二次型的秩为 $r$
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若 $A$ 为 $n$ 阶正交矩阵，则 $|A|=1$
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A$ 为 3 阶方阵，且 $|A|=2$ ，则 $\left|A^T\right|=$
设向量组 $\alpha_1=(1,2,3)^T, \alpha_2=(2,3,4)^T, \alpha_3=(3,4,5)^T$ ，则该向量组的秩为
设 $A$ 为 3 阶方阵，且 $A$ 的特征值为 $1,2,3$ ，则 $\left|A^2+2 A+E\right|=$
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2$ 的秩为
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A^2=E$ ，则 $A$ 的特征值为
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3\end{array}\right|$
设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4\end{array}\right)$ ，求 $A^{-1}$
求齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3+x_4=0 \\ x_1+2 x_2+3 x_3+4 x_4=0 \\ x_1+3 x_2+6 x_3+10 x_4=0\end{array}\right.$ 的基础解系和通解。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A^2=A$ ，证明：存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^T A Q=\left(\begin{array}{cc}E_r & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，其中 $r$ 为 $A$ 的秩。