解答题 （共 19 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设一平面经过原点及点 $(6,-3,2)$ ，且与平面 $4 x-y+2 z=8$垂直，求此平面的方程．
求与原点的距离为 6 ，且在三个坐标轴上的截距之比为 $a: b: c=1: 3: 2$ 的平面方程．
已 知 两 个 平 面 $\pi_1: x+2 y-z+1=0$ 和 $\pi_2: 2 x-y+2 z-1=0$ ，求：
（1）这两个平面的夹角 $\theta$ 的余弦；
（2）这两个平面的角平分面的方程．
已知直线 $L_1$ 和 $L_2$ 的方程
$$
L_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{-1} \text { 和 } L_2: \frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1} \text {, }
$$
试求过 $\boldsymbol{L}_1$ 且平行于 $\boldsymbol{L}_2$ 的平面方程．
求过点 $M_0(1,0,1)$ 且与直线 $L: \boldsymbol{x}-\mathbf{1}=\boldsymbol{y}+\mathbf{1}=\boldsymbol{z}-\mathbf{1}$ 垂直相交的直线方程．
已知直线 $L:\left\{\begin{array}{l}2 x-4 y+z=0 \\ 3 x-y-2 z=9\end{array}\right.$ 和平面 $\pi: 4 x-y+z=1$ ，试求直线 $L$ 在平面 $\pi$ 上的投影直线方程．
求通过直线 $L:\left\{\begin{array}{l}2 x+y-3 z+2=0, \\ 5 x+5 y-4 z+3=0\end{array}\right.$ 的两个相互垂直的平面 $\pi_1, \pi_2$ ，使其中一个平面过点 $(4,-3,1)$ ．
设有空间中五点
$$
A(1,0,1), B(1,1,2), C(1,-1,-2), D(3,1,0), E(3,1,2) .
$$
试求过点 $E$ 且与 $A, B, C$ 所在平面 $\Sigma$ 平行而与直线 $A D$ 垂直的直线方程．
设平面 $\boldsymbol{\pi}$ 方程为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{y}+\boldsymbol{C} \boldsymbol{z}+\boldsymbol{D}=\mathbf{0}$ ，则向量 $\vec{r}=\left(r_1, r_2, r_3\right)$ 平行于平面 $\pi$ 或在平面 $\pi$ 上的充分必要条件是 $A r_1+B r_2+C r_3=0$.
试判定直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+3 y+2 z+1=0 \\ 2 x-y-10 z+3=0\end{array}\right.$ 与平面 $\pi: 4 x-2 y+z -2=0$ 的位置关系．
试计算点 $(2,1,0)$ 到平面 $3 x+4 y+5 z=0$ 的距离．
求直线 $l_1:\left\{\begin{array}{l}x-y=0 \\ z=0\end{array}\right.$ 与直线 $l_2: \frac{x-2}{4}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-3}{-1}$ 的距离．
设点 $P(3,1,-4)$ 是直线 $L: \frac{x+1}{2}=\frac{y-4}{-2}=\frac{z-1}{1}$ 外一点．求点 $P$ 在直线 $L$ 上垂足 $Q$ 的坐标，并求点 $P$ 到直线 $L$ 的距离．
已知直线 $L$ 通过一平面 $x+y-z-8=0$ 与直线 $\frac{x-1}{2}= \frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{2}$ 的交点，且与直线 $\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$ 垂直相交，求直线 $L$ 的方程．
求两直线的公垂线的方程．
$$
L_1:\left\{\begin{array}{l}
x+2 y+5=0 \\
2 y-z-4=0
\end{array}, L_2:\left\{\begin{array}{l}
y=0 \\
x+2 z+4=0
\end{array}\right.\right.
$$
设直线 $L$ 过点 $P(-3,5,-9)$ 且与直线 $L_1:\left\{\begin{array}{l}y=4 x-7 \\ z=5 x+10\end{array}\right.$ 与 $L_2:\left\{\begin{array}{l}y=3 x+5 \\ z=2 x-3\end{array}\right.$ 都相交，求直线 $L$ 的方程．
设直线 $L$ 过点 $A(1,2,1)$ 且垂直于直线 $L_1: \frac{x-1}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}$ ，又和直线 $L_2: \frac{x}{2}=y=\frac{z}{-1}$ 相交，求直线 $L$ 的方程．
已知空间的两条直线：
$$
l_1: \frac{x-4}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-8}{1}, l_2: \frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1},
$$
（1）证明 $l_1$ 和 $l_2$ 异面；
（2）求 $l_1$ 和 $l_2$ 公垂线的标准方程；
（3）求连接 $l_1$ 上任一点和 $l_2$ 上的任一点线段中点的轨迹的一般方程．
求通过直线 $L:\left\{\begin{array}{l}2 x+y-3 z+2=0, \\ 5 x+5 y-4 z+3=0\end{array}\right.$ 的两个相互垂直的平面 $\pi_1, \pi_2$ ，使其中一个平面过点 $(4,-3,1)$ ．