单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$ 不存在，则 $\lim _{x \rightarrow x_0}[f(x)+g(x)]$
$\text{A.}$ 等于 0
$\text{B.}$ 存在，但不能确定其值
$\text{C.}$ 不存在
$\text{D.}$ 不能确定其是否存在
当 $x \rightarrow 1$ 时，无穷小量 $\alpha=\sqrt{x+3}-2$ 与 $\beta=\frac{x^2-1}{k x+5}$ 是等价无穷小，则 $k=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 任意实数
使函数 $f(x)=\sqrt[3]{x^2\left(1-x^2\right)}$ 适合罗尔定理条件的区间是
$\text{A.}$ $[0,1]$
$\text{B.}$ $[-1,1]$
$\text{C.}$ $[-2,2]$
$\text{D.}$ $[-3 / 5,4 / 5]$
下列广义积分中，发散的是
$\text{A.}$ $\int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{1-x}}$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \frac{d x}{x \tan x}$
$\text{C.}$ $\quad \int_1^{+\infty} \frac{d x}{x^\pi}$
$\text{D.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{d x}{x(\ln x)^2}$
若 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=2$ ，则 $[(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{b}+\vec{c})] \cdot(\vec{c}+\vec{a})=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0}(1-3 x)^{\frac{2}{\sin x}}=$
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{P x^2-(1+P) x+1}{x^2+Q}=2$ ，则 $P=$ $\_\_\_\_$ ，$Q=$ $\_\_\_\_$
$e^{x y}=2 x+y$ ，则 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0}=$ $\_\_\_\_$ ，$\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{x=0}=$ $\_\_\_\_$
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(x^3+1\right) \cos x d x=$
若两直线 $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{\lambda}=\frac{z}{2}, \frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1}$ 相交，则 $\lambda=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(\sin x)^{\tan x}$
设 $f(x)$ 是可导函数，且 $f(0)=0$ ，求 $a$ 使 $g(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{x^2} \int_0^x f(t) d, t x \neq 0 \\ a, x=0\end{array}\right.$ 处处连续
讨论函数 $f(x)=\frac{2 x-1}{(x-1)^2}$ 及其图形的单调性及凹凸性，极值和拐点．
设曲线方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=\ln \left(1+t^2\right) \\ y=t-\arctan t\end{array}\right.$ ，求曲线在点 $\left(\ln 2,1-\frac{\pi}{4}\right)$ 处的曲率
$\int \frac{\sqrt{9-x^2}}{x} d x$
$\int_0^3 \frac{\ln (1+x)}{\sqrt{1+x}} d x$
求过直线 $l_1:\left\{\begin{array}{c}2 x+y-z-1=0 \\ 3 x-y+2 z-2=0\end{array}\right.$ 且平行于直线 $l_2:\left\{\begin{array}{c}5 x+y-z+4=0 \\ x+y-z-4=0\end{array}\right.$ 的平面方程．
一楼房的后面是一个很大的花园．在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸入花园 2 m ，高 3 m ，温室正上方是楼房的窗台。清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上．因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短是不行的．现清洁工只有一架 7 m 长的梯子，你认为它能达到要求吗？能满足要求的梯子的最小长度为多少？
设一球从 100 米高度自由落下，每次落地后反跳回原高度的一半，再落下。求它在第 10 次反弹了多高？而第 10 次落地时，累计运动了多少米？第 100 万次落地时的情形又如何？
证明题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内 $\frac{2}{\pi} < \frac{\sin x}{x}$
已知 $f(x)$ 具有二阶导数，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f(1)=0$ ．证明在区间 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使 $f^{\prime \prime}(\xi)=0$
求曲线 $y=x^2+2$ 与直线 $x=0, y=3$ 围成的平面图形在第一象限部分的面积，并求此部分绕 $x$ 轴旋转一周得到的旋转体的体积 V 。
作函数 $y=f(x)=\frac{1}{1+|x|}+\frac{1}{1+|x-2|}$ 的图形，并填写下列表格．
