解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$$
\left(\begin{array}{rrrr}
2 & 1 & 4 & 0 \\
1 & -1 & 3 & 4
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}
1 & 3 & 1 \\
0 & -1 & 2 \\
1 & -3 & 1 \\
4 & 0 & -2
\end{array}\right)
$$
$$
\left(x_1, x_2, x_3\right)\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{12} & a_{22} & a_{23} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)
$$
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & 4 \\ 0 & 5 & 1\end{array}\right)$, 求 $3 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}-2 \boldsymbol{A}$ 及 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}$.
已知两个线性变换
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ x _ { 1 } = 2 y _ { 1 } + y _ { 3 } , } \\
{ x _ { 2 } = - 2 y _ { 1 } + 3 y _ { 2 } + 2 y _ { 3 } } \\
{ x _ { 3 } = 4 y _ { 1 } + y _ { 2 } + 5 y _ { 3 } , }
\end{array} \left\{\begin{array}{l}
y_1=-3 z_1+z_2, \\
y_2=2 z_1+z_3, \\
y_3=-3 z_3,
\end{array}\right.\right.
$$
求从 $z_1, z_2, z_3$ 到 $x_1, x_2, x_3$ 的线性变换.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ \lambda & 1\end{array}\right)$, 求 $\boldsymbol{A}^2, \boldsymbol{A}^3, \cdots, \boldsymbol{A}^k$;
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)$, 求 $\boldsymbol{A}^4$.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rr}3 & 1 \\ 1 & -3\end{array}\right)$, 求 $\boldsymbol{A}^{50}$ 和 $\boldsymbol{A}^{51}$;
设 $\boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -3\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right), \boldsymbol{A}=\boldsymbol{a} \boldsymbol{b}^{\mathrm{T}}$, 求 $\boldsymbol{A}^{100}$.
(1) 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶矩阵, 且 $\boldsymbol{A}$ 为对称阵, 证明 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 也是对称阵;
(2) 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶对称阵,证明 $\boldsymbol{A B}$ 是对称阵的充要条件是 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$.
求逆矩阵 $$
\left(\begin{array}{rr}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right)
$$
求逆矩阵 $$\left(\begin{array}{llll}
a_1 & & & 0 \\
& a_2 & & \\
& & \ddots & \\
0 & & & a_n
\end{array}\right)\left(a_1 a_2 \cdots a_n \neq 0\right) $$
设 $\boldsymbol{J}$ 是元素全为 1 的 $n(\geqslant 2)$ 阶方阵, 证明 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{J}$ 是可逆矩阵, 且 $(\boldsymbol{E}-$ $\boldsymbol{J})^{-1}=\boldsymbol{E}-\frac{1}{n-1} \boldsymbol{J}$, 这里 $\boldsymbol{E}$ 是与 $\boldsymbol{J}$ 同阶的单位矩阵.
设 $\boldsymbol{A}^k=\boldsymbol{O}$ ( $k$ 为正整数), 证明 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆, 并且其逆矩阵 $(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})^{-1}$ $=\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^2+\cdots+\boldsymbol{A}^{k-1}$.
设方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足
$\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}...(2.4),$
证明 $\boldsymbol{A}$ 及 $\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}$ 都可逆,并求 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 及 $(\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E})^{-1}$.