单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
斐波那切是意大利 13 世纪的数学家, 其传世名作为 《算盘书》, 书中有一个著名的问题: 一个人经过七道 门进人果园，摘了若干苹果. 他离开果园时, 给第一个守门人一半加 1 个; 给第二个守门人, 是余下的一 半加 1 个; 对其他五个守门人, 也如此这般, 最后他带着 1 个苹果离开果园. 请问：当初他一共摘了多少个苹果.
$\text{A.}$ 1522
$\text{B.}$ 762
$\text{C.}$ 382
$\text{D.}$ 192
意大利数学家斐波那契以兔子的繁殖数量为例，引入数列：$1,1,2,3,5,8，...$，该数列从第三项起每一项都等于前两项的和, 即递推关系式为 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n, n \in N^*$, 故此数列称为斐波那契数列, 又称“兔子数列”. 已知满足上述递推关系式们数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=A \cdot\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+B \cdot\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$, 其中 A、B 的值可由 $a_1$ 和 $a_2$ 得到, 比如兔子数列中 $a_1=1, a_2=1$ 代入解得 $A=\frac{1}{\sqrt{5}}, B=-\frac{1}{\sqrt{5}}$. 利用 以上信息计算 $\left[\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^5\right]=(\quad) .([x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数 $)$
$\text{A.}$ 10
$\text{B.}$ 11
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ 13
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $n S_n=(n+1) S_n+(n-1) n(n+1)\left(n \geqslant 2, n \in \mathbf{N}^*\right)$, 若 $S_1=-50$, 则下列结论正确的有
$\text{A.}$ $a_5>0$
$\text{B.}$ 当 $n=4$ 时, $S_n$ 取得最小值
$\text{C.}$ 当 $S_n>0$ 时, $n$ 的最小值为 7
$\text{D.}$ 当 $n=5$ 时, $\frac{S_n}{a_n}$ 取得最小值
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足: $a_1=3$, 当 $n \geqslant 2$ 时, $a_n=\left(\sqrt{a_{n-1}+1}+1\right)^2-1$, 则数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式 是
$\text{A.}$ $a_n=2 n+1$
$\text{B.}$ $a_n=n^2+2 n$
$\text{C.}$ $a_n=n^2+2$
$\text{D.}$ $a_n=2 n^2+1$
斐波那契数列 $\left\{F_n\right\}$ 因数学家莱昂纳多·斐波那契 (LeonardodaFibonaci) 以兔子繁殖为例而引 入, 故又称为 “兔子数列”. 因 $n$ 趋向于无穷大时, $\frac{F_n}{F_{n+1}}$ 无限趋近于黄金分割数, 也被称为 黄金分割数列. 在数学上, 斐波那契数列由以下递推方法定义: 数列 $\left\{F_n\right\}$ 满足 $F_1=F_2=1$, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$, 若从该数列前 10 项中随机抽取 1 项, 则抽取项是奇数的概率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{10}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{7}{10}$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$. 若 $a_1=2, a_{n+1}=S_n$, 则 $S_8=$
$\text{A.}$ 512
$\text{B.}$ 510
$\text{C.}$ 256
$\text{D.}$ 254