单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为 $n(n \geqslant 3)$ 维列向量, 关于向量组 (I) $k \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, k \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, k \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 (II) $-k \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2,-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, k \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 向量组 (I) 必线性无关
$\text{B.}$ 向量组 (II) 必线性无关
$\text{C.}$ 若向量组 (I) 线性无关, 则向量组 (II) 也线性无关
$\text{D.}$ 若向量组 (II) 线性无关,则向量组 (I) 也线性无关
方程组 ( I ) $\left\{\begin{array}{l}x_1+2 x_2+3 x_3-x_4=0, \\ x_1-x_2+2 x_3+a x_4=0\end{array}\right.$ 与方程组 ( II) $\left\{\begin{array}{l}2 x_1+x_2+5 x_3+x_4=0, \\ 3 x_2+x_3+b x_4=0\end{array}\right.$ 同解,则
$\text{A.}$ $a=1, b=2$
$\text{B.}$ $a=-1, b=2$
$\text{C.}$ $a=2, b=3$
$\text{D.}$ $a=2, b=-3$
设 $\boldsymbol{A}_i, i=1,2$ 均为 $n$ 阶对称阵, 且 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}_1 & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{E} & \boldsymbol{A}_2\end{array}\right)$ 为正定矩阵, 则下列说法不正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}_1$ 正定
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}_2$ 正定
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}_2-\boldsymbol{A}_1^{-1}$ 正定
$\text{D.}$ $|\boldsymbol{A}|=\left|\boldsymbol{A}_2-\boldsymbol{A}_1^{-1}\right|$
设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 为 3 阶实对称矩阵, $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{A}$ 的每行元素之和均为 0 . 设 2,3 为 $\boldsymbol{A}$ 的非零特征值, 用 $A_{11}$ 表示 $\boldsymbol{A}$ 的元素 $a_{11}$ 所对应的代数余子式, 则 $A_{11}=$.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ 6
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称阵, $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随阵, 且 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})+\mathrm{r}\left(\boldsymbol{A}^*\right)=1$, 已知 $\lambda_1=2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值, 对应的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}_1=(-1,1,1)^{\mathrm{T}}$, 则方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的基础解系为
$\text{A.}$ $(1,1,0)^{\mathrm{T}}$
$\text{B.}$ $(1,2,-1)^{\mathrm{T}}$
$\text{C.}$ $(1,1,0)^{\mathrm{T}},(1,-1,0)^{\mathrm{T}}$
$\text{D.}$ $(2,1,1)^{\mathrm{T}},(1,0,1)^{\mathrm{T}}$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵,下列命题正确的有
(1) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
(2) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{A}^*$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
(3) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{A}^2$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
(4) 若 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $k \boldsymbol{A}(k \neq 0)$ 的特征向量, 则 $\boldsymbol{\alpha}$ 必为 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个