单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
交换积分次序 $\int_{-1}^0 d y \int_{1-y}^2 f(x, y) d x=(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_1^2 d x \int_0^{1-x} f(x, y) d y$
$\text{B.}$ $\int_1^2 d x \int_{1-x}^0 f(x, y) d y$
$\text{C.}$ $\int_0^2 d x \int_0^{1-x} f(x, y) d y$
$\text{D.}$ $\int_0^2 d y \int_{1-x}^0 f(x, y) d x$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，则 $d\left(\int f(x) d x\right)=$
$\text{A.}$ $f(x)$
$\text{B.}$ $f(x) d x$
$\text{C.}$ $f(x)+C$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(x) d x$
设 $k$ 为任意常数, 微分方程 $y^{\prime}=2 x \tan y$ 的通解是
$\text{A.}$ $-\ln \sin y=x^2+k$
$\text{B.}$ $\quad \sin y=k e^{z^2} \quad(k \neq 0)$
$\text{C.}$ $\ln \sin y=k x^2$
$\text{D.}$ $\ln k \sin y=x^2(k>0)$
幂级数 $\sum_1^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$ 的收敛区间是（）。
$\text{A.}$ $[1,3]$
$\text{B.}$ $[1,3)$
$\text{C.}$ $(-1,1)$
$\text{D.}$ $[-1,1)$
关于级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n^p$ 收敛性, 下述结论中正确的是
$\text{A.}$ $0 < p < 1$ 时收敛
$\text{B.}$ $p>1$ 时收敛
$\text{C.}$ $-1 < p < 0$ 时绝对收敛
$\text{D.}$ $p < -1$ 时收敛
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$, 则 $\iint_D \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y=$
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ $4 \iint_{D_1} \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y$, 其中 $D_1=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$.
$\text{C.}$ $4 \iint_{D_2} \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y$, 其中 $D_2=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0, y \leqslant 0\right\}$.
$\text{D.}$ $2 \iint_{D_3} \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y$, 其中 $D_3=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0\right\}$.
设 $b, k$ 为常数, 则函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}k x+b, x < 1 \\ \sqrt{1+x^2}, x \geq 1\end{array}\right.$, 可导的充分必要条件是
$\text{A.}$ $k=0, b=\sqrt{2}$.
$\text{B.}$ $k=\frac{\sqrt{2}}{2}, b=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\text{C.}$ $k=\sqrt{2}, b=0$.
$\text{D.}$ $k=\frac{2 \sqrt{2}}{3}, b=\frac{\sqrt{2}}{3}$.
$\text{E.}$ $k+b=\sqrt{2}$.
设 $y_1, y_2$ 是一阶非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda y_1+$ $\mu y_2$ 是该方程的解，$\lambda y_1-\mu y_2$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$
设函数 $f(x)$ 连续，给出下列四个条件：
（1） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-f(0)}{x}$ 存在；
（2） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-|f(0)|}{x}$ 存在；
（3） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 存在；
（4） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$ 存在；
其中能得到＂$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导＂的条件个数是（ ）。
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y= e ^{3 x}$ 满足初始条件 $y(0)=y^{\prime}(0)=0$ 的特解，则当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{y(x)}$ 的极限
$\text{A.}$ 不存在
$\text{B.}$ 等于 1
$\text{C.}$ 等于 2
$\text{D.}$ 等于 3
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $y=\cos (\ln x)$, 求 $y^{\prime \prime}$;
求函数 $z=\ln \left(1+x^2+y^2\right)$ 在点 $(1,2)$ 处的全微分 $\left.d z\right|_{(1,2)}=$
求和 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n)!}$.
设二重积分的积分区域 D 是由 $4 \leq x^2+y^2 \leq 9$ 围成, 则 $\iint_D d x d y=$.
微分方程 $x y^{\prime}-y+x^2 e ^x=0$ 满足条件 $y(1)=- e$ 的解为 $y=$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}x+1,0 \leq x \leq \pi \\ 0, \\ -\pi \leq x < 0\end{array}, S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)\right.$ 是 $f(x)$ 的以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶级数, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)$
求函数 $u=x y z$ 在附加条件 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}, x>0, y>0, z>0, a>0$ 下的极值．
计算三重积分 $I=\iiint_{\Omega} \frac{ d V}{(1+x+y+z)^3}$, 其中 $\Omega$ 是平面 $x+y+z=1$ 与三个坐标平面围成的空间闭区域。
设 $F(x)=f(x) g(x)$ ，其中函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内满足以下条件：
$f^{\prime}(x)=g(x), g^{\prime}(x)=f(x) \text {, 且 } f(0)=0, f(x)+g(x)=2 e^x$
（1）求 $F(x)$ 所满足的微分方程；
（2）求出 $F(x)$ 的表达式．
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} u_n(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$, 其中 $a_0=0, a_1=1$, 且满足 $\frac{1}{n+2} a_{n+2}=\frac{2}{n(n+1)} a_n$, 求
(1) 级数的收敛域;
(2) 幂级数的和函数 $S(x)$.
(1) 设 $f_1(t)=\frac{t+3}{2}, f_2(t)=\frac{t+6}{3},\left\{n_k\right\}$为取值于 $\{1,2\}$ 的整数列。令 $F_1(t)=f_{n_1}(t), F_{k+1}(t)=$ $F_k\left(f_{n_{k+1}}(t)\right)(k \geqslant 1)$. 证明: 对任何 $x \in R$, 极限 $\lim _{k \rightarrow+\infty} F_k(x)$存在且与 $x$ 无关.
(2) 若题 (1) 中的 $f_1, f_2$ 改为 $f_1(t)=t-\arctan t, f_2(t)=2 \arctan t-t$, 结论如何?