单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
设 $n$ 阶方阵 $A$ 的秩 $r ( A )=r < n$, 那么在 $A$ 的 $n$ 个行向量中
$\text{A.}$ 必有 $r$ 个行向量线性无关.
$\text{B.}$ 任意 $r$ 个行向量都线性无关.
$\text{C.}$ 任意 $r$ 个行向量都构成极大线性无关向量组.
$\text{D.}$ 任意一个行向量都可以由其他 $r$ 个行向量线性表示.
设 $n$ 维列向量组 $\alpha _1, \cdots, \alpha _m(m < n)$ 线性无关, 则 $n$ 维列向量组 $\beta _1, \cdots, \beta _m$ 线性无关的充分必要条件为
$\text{A.}$ 向量组 $\alpha _1, \cdots, \alpha _m$ 可由向量组 $\beta _1, \cdots, \beta _m$ 线性表示.
$\text{B.}$ 向量组 $\beta _1, \cdots, \beta _m$ 可由向量组 $\alpha _1, \cdots, \alpha _m$ 线性表示.
$\text{C.}$ 向量组 $\alpha _1, \cdots, \alpha _m$ 与向量组 $\beta _1, \cdots, \beta _m$ 等价.
$\text{D.}$ 矩阵 $A =\left( \alpha _1, \cdots, \alpha _m\right)$ 与矩阵 $B =\left( \beta _1, \cdots, \beta _m\right)$ 等价.
设矩阵 $\left(\begin{array}{lll}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right)$ 是满秩的, 则直线 $\frac{x-a_3}{a_1-a_2}=\frac{y-b_3}{b_1-b_2}=\frac{z-c_3}{c_1-c_2}$ 与线 $\frac{x-a_1}{a_2-a_3}=\frac{y-b_1}{b_2-b_3}-\frac{z-c_1}{c_2-c_3}$
$\text{A.}$ 相交于一点.
$\text{B.}$ 重合.
$\text{C.}$ 平行但不重合.
$\text{D.}$ 异面.
设 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 是 3 维向量空间 $R ^3$ 的一组基, 则由基 $\alpha _1, \frac{1}{2} \alpha _2, \frac{1}{3} \alpha _3$ 到基 $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3+ \alpha _1$ 的过渡矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$.
任意两个 $n$ 维向量组 $\alpha_1, \cdots \alpha_m$ 和 $\beta_1, \cdots, \beta_m$, 若存在两组不全为 0 的数 $\lambda_1, \cdots, \lambda_m$和 $k_1, \cdots, k_m$, 使得 $\left(\lambda_1+k_1\right) \alpha_1+\cdots+\left(\lambda_m+k_m\right) \alpha_m+\left(\lambda_1-k_1\right) \beta_1+\cdots+\left(\lambda_m-k_m\right) \beta_m= 0$,则
$\text{A.}$ $\alpha_1, \cdots \alpha_m$ 和 $\beta_1, \cdots, \beta_m$ 都线性相关.
$\text{B.}$ $\alpha_1, \cdots \alpha_m$ 和 $\beta_1, \cdots, \beta_m$ 都线性无关.
$\text{C.}$ $\alpha_1+\beta_1, \cdots, \alpha_m+\beta_m, \alpha_1-\beta_1, \cdots, \alpha_m-\beta_m$ 线性无关.
$\text{D.}$ $\alpha_1+\beta_1, \cdots, \alpha_m+\beta_m, \alpha_1-\beta_1, \cdots, \alpha_m-\beta_m$ 线性相关.
已知 $n$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m(m>2)$ 线性无关, 则（）
$\text{A.}$ 对任意一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$, 都有 $k_1 \alpha_4+k_2 \alpha_2+\cdots+k_m \alpha_m=0$.
$\text{B.}$ $m < n$.
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 中少于 $m$ 个向量构成的向量组均线性相关.
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 中任意两个向量均线性无关.
下列命题中正确的是
$\text{A.}$ 若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m（m>1）$ 线性相关，则任一向量 $\alpha_i(1 \leq i \leq m)$ 可由其余向量线性表出.
$\text{B.}$ 若 有 不 全 为 0 的 数 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m \quad(m>1)$ ，使 $i_1 \alpha_1+\lambda_2 \alpha_2+\cdots+\lambda_m \alpha_m+\lambda_1 \beta_1+\lambda_2 \beta_2+\cdots+\lambda_m \beta_m=o$ 成立，则向量组 $\alpha_1, \alpha _2, \ldots, \alpha _m$ 线性相关，向量组 $\beta _1, \beta _2, \ldots, \beta _m$ 亦线性相关.
$\text{C.}$ 若 $\alpha _1, \alpha _2, \ldots, \alpha _m( m >1)$ 中任意两个向量线性无关，则 $\alpha _1, \alpha _2, \ldots, \alpha _m$ 线性无关.
$\text{D.}$ 若向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \ldots, \alpha _m(m>1)$ 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出，则晌量组 $\alpha _1, \alpha , \ldots, \alpha _m$ 线性无关.
设 $A$ 为 $n \times m$ 矩阵,且 $m \neq n$. 若 $A A ^{ T }= E _n$, 则 ( )
$\text{A.}$ $A x=0$ 只有零解.
$\text{B.}$ $A x = b$ 必有解.
$\text{C.}$ $A ^{ T } x = b$ 必有解.
$\text{D.}$ 若 $m$ 维列向量组 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _s$ 线性无关, 则 $A \beta _1, A \beta _2, \cdots, A \beta _s$ 必线性无关.
已知向量 $\alpha_1=(\lambda, 1,1)^T, \alpha_2=(1, \lambda, 1)^T, \alpha_3=(1,1, \lambda)^T, \alpha_4=\left(1, \lambda, \lambda^2\right)^T$, 若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 与 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ 等价，则 $\lambda$ 的取值范围是（ ）。
$\text{A.}$ $\{0,1\}$;
$\text{B.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R , \lambda \neq-1, \lambda \neq-2\}$;
$\text{C.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R , \lambda \neq-2\}$;
$\text{D.}$ $\{\lambda \mid \lambda \in R , \lambda \neq-1\}$.
设有 $n$ 元非齐次方程 $A x = b$, 则 $(\quad)$.
$\text{A.}$ 若 $A x = 0$ 只有零解,则 $A x = b$ 有惟一解
$\text{B.}$ $A x = b$ 有惟一解的充要条件是 $R( A )=n$
$\text{C.}$ $A x = b$ 有两个不同的解, 则 $A x = 0$ 有无限多解
$\text{D.}$ $A x = b$ 有两个不同的解，则 $A x = 0$ 的基础解系中含有两个以上向量
设 3 阶矩阵 $Q =\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right|, P$ 为 3 阶非零矩阵, 且 $P Q = O$, 则 $(\quad)$.
$\text{A.}$ $t=6$ 时, $R( P )=1$
$\text{B.}$ $t=6$ 时, $R( P )=2$
$\text{C.}$ $t \neq 6$ 时, $R( P )=1$
$\text{D.}$ $t \neq 6$ 时, $R( P )=2$
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 是 $n$ 维向量, $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关, $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关, 且 $\alpha_{1+} \alpha_2+\alpha_4=0$, 在空间直角坐标系 $O-x y z$ 中, 关于 $x, y, z$ 的方程组 $x \alpha_1+y \alpha_2+z \alpha_3=\alpha_4$ 的几何图形是
$\text{A.}$ 过原点的一个平面
$\text{B.}$ 过原点的一条直线
$\text{C.}$ 不过原点的一个平面
$\text{D.}$ 不过原点的一条直线
已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关, 则以下向量组中线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, 2 \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$.
$\text{B.}$ $\alpha_1+2 \alpha_2, \alpha_2+2 \alpha_3, \alpha_3+2 \alpha_1$.
$\text{C.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_1+\alpha_2+2 \alpha_3$.
$\text{D.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_1+2 \alpha_2+\alpha_3$.
已知向量
$$
\alpha_1=(1,-3,4), \alpha_2=(1,-2,2), \alpha_3=(1,-2,4), \alpha_4=(1,0,-2), \alpha_5=(0,1,1)
$$
则以下向量组中线性相关的是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.
$\text{B.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$.
$\text{C.}$ $\alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$.
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$.
设两个向量组 $a _1, a _2, \cdots, a _{ s }$ 和 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _s$ 均线性相关，则
$\text{A.}$ 有不全为 0 的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s$ 使 $\lambda_1 a _1+\lambda_2 a _2+\cdots+\lambda_s a _s=0$ 和 $\lambda_1 \beta_1+\lambda_2 \beta_2+\cdots \lambda_s \beta_s=0$
$\text{B.}$ 有不全为 0 的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_{ s }$ 使 $\lambda_1\left( a _1+ \beta _1\right)+\lambda_2\left( a _2+ \beta _2\right)+\cdots+\lambda_{ s }\left( a _{ s }+ \beta _{ s }\right)=0$
$\text{C.}$ 有不全为 0 的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s$ 使 $\lambda_1\left( a _1-\beta_1\right)+\lambda_2\left( a _2-\beta_2\right)+\cdots+\lambda_s\left( a _s-\beta_s\right)=0$
$\text{D.}$ 有不全为 0 的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s$ 和不全为 0 的数 $\mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_s$ 使 $\lambda_1 a_1+\lambda_2 a_2+\cdots+$ $\lambda_s a _{ s }=0$ 和 $\mu_1 \beta _1+\mu_2 \beta _2+\cdots+\mu_{ s } \beta _{ s }=0$
n 维向量组 $a_1 \cdots \cdots a_i \quad(2 < I < n)$ 线性无关的充要条件是
$\text{A.}$ 存在一组不全为 0 的常数 $k_1 \cdots \cdots k_i$ 使 $k_1 a_1+\cdots \cdots+k_i a_i \neq 0$
$\text{B.}$ 该组中任意两向量都线性无关
$\text{C.}$ 该组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示
$\text{D.}$ 该组中任意向量都不能用其余向量线性表示
已知 4 维列向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。
$\text{A.}$ $\alpha _1- \alpha _2, \alpha _2- \alpha _3, \alpha _3- \alpha _4, \alpha _4- \alpha _1$
$\text{B.}$ $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3+ \alpha _4, \alpha _4+ \alpha _1$
$\text{C.}$ $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3- \alpha _4, \alpha _4- \alpha _1$
$\text{D.}$ $\alpha _1+ \alpha _2, \alpha _2+ \alpha _3, \alpha _3+ \alpha _4, \alpha _4- \alpha _1$
设向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 的秩为 $r(r < s)$ ，则下列说法错误的是 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 中至少有一个由 $r$ 个向量组成的部分组线性无关
$\text{B.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 中任何 $r$ 个线性无关向量组成的部分组与 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 是等价向量组
$\text{C.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 中任何 $r$ 个向量的部分组都线性无关
$\text{D.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 中任何 $r+1$ 个向量的部分组都线性相关
设向量组 $\alpha_1=(1,-1,1,0)^T, \alpha_2=(1,1,-1,0)^T, \alpha_3=(-1,1,1, t)^T$ ，则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3(\quad)$
$\text{A.}$ 必线性无关
$\text{B.}$ 必线性相关
$\text{C.}$ 必相互正交
$\text{D.}$ 相关与否与 $t$ 有关
设向量组 $\alpha_1=(1,2,3)^T, \alpha_2=(2,4,6)^T, \alpha_3=(3,6,9)^T$ ，则 ）
$\text{A.}$ 线性无关
$\text{B.}$ 线性相关且秩为 1
$\text{C.}$ 线性相关且秩为 2
$\text{D.}$ 线性相关且秩为 3