单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\boldsymbol{b}=(3,2)^{\mathrm{T}}$, 线性方程组 $\boldsymbol{A}_{2 \times 2} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有通解 $k(-2,1)^{\mathrm{T}}+(3,-4)^{\mathrm{T}}$, 则 $\boldsymbol{\beta}=(5$, $-10)^{\mathrm{T}}$ 是下列哪个方程组的解
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A x}=\left(\begin{array}{c}5 \\ -10\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A x}=\left(\begin{array}{c}3 \\ -4\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A x}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}9 \\ 6\end{array}\right)$.
设实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0\end{array}\right)$ 合同, $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 则二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}$ 的规范形为
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$.
$\text{B.}$ $-y_1^2-y_2^2+y_3^2$.
$\text{C.}$ $y_1^2+y_2^2+y_3^2$.
$\text{D.}$ $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶矩阵, $r(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的两个线性无关解, $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 的特解,下列选项中可作为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 的通解的是
$\text{A.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1\right)+\boldsymbol{\beta}_1$
$\text{B.}$ $k_1\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1\right)+\boldsymbol{\beta}_1$
$\text{C.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+\frac{\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1}{2}$
$\text{D.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+\frac{\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2}{2}$
下列说法中:
(1) 已知非零列向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, 其中 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵, 则非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\alpha}$ 有解的充要条件是 $r(\boldsymbol{A})=n-1$;
(2) 已知 $m \times n$ 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 行满秩, $\boldsymbol{B}$ 为 $n \times(n-m)$ 矩阵, 有 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ 成立, 则存在唯一的列向量 $\boldsymbol{\gamma}$, 有 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\alpha}$ 成立;
(3) 已知齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 的基础解系分别为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{r-s}$,其中 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵, 两个方程组无非零的公共解, 则任一 $n$ 维列向量 $\boldsymbol{\eta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$与 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n-s}$ 唯一线性表示;
(4) 若齐次线性方程组 $A x=0$ 与 $B x=0$ 同解, 则存在 $n$ 阶矩阵 $C_1, C_2$ 使得 $A=C_1 B, B=C_2 A$.正确的个数为 $(\quad)$.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $a_1=\left[\begin{array}{lll}1, & 0, & 1\end{array}\right]^T, a_2=\left[\begin{array}{lll}0, & 1, & 1\end{array}\right]^T$ 为 $A x=0$ 的两个解向量, 其中 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & a & 1 \\ 1 & 1 & b\end{array}\right]$,
则
$\text{A.}$ $a=-1, \quad b=-1$;
$\text{B.}$ $a=1, \quad b=-1$;
$\text{C.}$ $a=1, \quad b=1$;
$\text{D.}$ $a=-1, \quad b=1$.
齐次方程组 $A x=0$ 仅有零解的充要条件是系数矩阵 $A$ 的
$\text{A.}$ 行向量组线性无关;
$\text{B.}$ 列向量组线性无关;
$\text{C.}$ 行向量组线性相关;
$\text{D.}$ 列向量组线性相关.