后保研概率论与统计一维随机变量与分布试卷-数学组卷-自助组卷

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后保研概率论与统计一维随机变量与分布试卷

数学

一、单选题（共 20 题），每题只有一个选项正确

1. 设总体

X

服从参数为

λ

的泊松分布, 简单样本

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

来自该总体,

\bar{X}, S^{2}

分别是样本均值和样本方差，则以下不能作为未知参数

λ

的矩估计量的是

A.

\bar{X}

B.

S^{2}

C.

S

D.

\frac{- 1 + \sqrt{1 + \frac{4}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}}}{2}

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2. 设简单样本

X_{1}, \dots, X_{n}

来自标准正态分布,

\bar{X}, S^{2}

分别是样本均值和样本方差, 则以下选项正确的是（）。

A.

\bar{X} \sim N (0, 1)

B.

{\bar{X}}^{2}

服从卡方分布

C.

S^{2}

服从卡方分布

D.

\frac{n {\bar{X}}^{2}}{S^{2}}

服从

F

分布

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3. 设

f (x)

是连续型随机变量

X

的概率密度,

F (x)

为其分布函数, 则

A.

0 ⩽ f (x) ⩽ 1

B.

P {X = x} ⩽ F (x)

C.

P {X = x} = F^{'} (x)

D.

P {X = x} = f (x)

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4. 设

F (x)

是随机变量

X

的分布函数, 则下列函数中一定不是分布函数的是( ).

A.

F^{2} (x)

B.

F^{3} (x)

C.

F (2 x)

D.

2 F (x)

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5. 下列函数中, 可以作为连续型随机变量概率密度的是 ( ).

A.

f_{1} (x) = {\begin{cases} \sin x, & 0 ⩽ x < \frac{π}{2}, \\ 0, & 其他 \end{cases}

B.

f_{2} (x) = {\begin{cases} \sin x, & - \frac{π}{2} ⩽ x < 0, \\ 0, & 其他 \end{cases}

C.

f_{3} (x) = {\begin{cases} \sin x, & 0 ⩽ x < π, \\ 0, & 其他 \end{cases}

D.

f_{4} (x) = {\begin{cases} 1 - \sin x, & 0 ⩽ x < \frac{π}{2}, \\ 0, & 其他 \end{cases}

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6. 设随机变量

X

的分布函数

F (x) = {\begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}, & 0 ⩽ x < 1, 则 P {X = 1} = () . \\ 1 - e^{- x}, & x ⩾ 1, \end{cases}

A.

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{1}{2} - e^{- 1}

D.

1 - e^{- 1}

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7. 已知离散型随机变量

X

的分布律为

P {X = k} = p^{k + 1} (k = 0, 1)

, 则

p = ()

A.

\frac{\sqrt{5} - 1}{2}

B.

\frac{\sqrt{5} + 1}{4}

C.

\frac{1 - \sqrt{5}}{2}

D.

\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}

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8. 设

f_{1} (x)

为标准正态分布的概率密度,

f_{2} (x)

为

[- 1, 3]

上均匀分布的概率密度, 若

f (x) = {\begin{cases} a f_{1} (x), & x ⩽ 0, \\ b f_{2} (x), & x > 0 \end{cases}, (a > 0, b > 0)

为概率密度, 则

a, b

应满足

A.

2 a + 3 b = 4

B.

3 a + 2 b = 4

C.

a + b = 1

D.

a + b = 2

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9. 设随机变量

X

的分布函数与概率密度分别为

F (x), f (x)

, 且对于任意实数

x, F (x) \neq 1

, 则下列反常积分中，发散的是（）

A.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{f (x)}{\sqrt{1 + F^{2} (x)}} d x

B.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{f (x)}{\sqrt{1 - F^{2} (x)}} d x

C.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{f (x)}{1 + F^{2} (x)} d x

D.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{f (x)}{1 - F^{2} (x)} d x

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10. 设随机变量

X

与

Y

均服从正态分布,

X \sim N (μ, 4^{2}), Y \sim N (μ, 5^{2})

, 而

p_{1} = P (X \leq μ - 4)

p_{2} = P (Y \geq μ + 5)

, 则

A.

p_{1} = p_{2}

B.

p_{1} < p_{2}

C.

p_{1} > p_{2}

D.

当

μ = 0

, 才有

p_{1} = p_{2}

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11. 设随机变量

X

服从区间

[0, 2]

上的均匀分布, 若

P (X^{2} \leq a) = \frac{1}{4}

, 则

a =

A.

\frac{1}{4}

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{\sqrt{2}}{2}

D.

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12.

X \sim N (0, 4)

, 则

P (X < 1) = ()

。

A.

\int_{0}^{1} \frac{1}{2 \sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{8}} d x

B.

\int_{0}^{1} \frac{1}{4} e^{- \frac{x^{2}}{4}} d x

C.

\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2}}

D.

\int_{- \infty}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x

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13. 某人向同一目标独立重复射击，每次命中目标的概率为

p (0 < p < 1)

，则此人第 4 次射击恰好第二次命中目标的概率为（）。

A.

3 p (1 - p)^{2}

B.

6 p (1 - p)^{2}

C.

3 p^{2} (1 - p)^{2}

D.

6 p^{2} (1 - p)^{2}

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14. 设

F_{1} (x), F_{2} (x)

是随机变量的分布函数，

f_{1} (x), f_{2} (x)

是相应的概率密度，则

()

．

A.

F_{1} (x) + F_{2} (x)

是分布函数

B.

F_{1} (x) \cdot F_{2} (x)

是分布函数

C.

f_{1} (x) + f_{2} (x)

是概率密度

D.

f_{1} (x) \cdot f_{2} (x)

是概率密度

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15. 通过某交叉路口的汽车流可以看作服从泊松分布．已知在 1 分钟内有汽车通过的概率为 0.7 ，则 1 分钟内最多有 1 辆汽车通过的概率为（）。

A.

0.7 (1 - \ln 0.7)

B.

0.3 (1 - \ln 0.7)

C.

0.3 (1 - \ln 0.3)

D.

0.7 (1 - \ln 0.3)

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16. 设随机变量

X

服从正态分布

N (0, 1)

，对给定的

α (0 < α < 1)

，数

u_{α}

满足

P {X > u_{α}} = α

，若

P {| X | < x} = α

，则

x

等于（）．

A.

u_{\frac{α}{2}}

B.

u_{1 - \frac{α}{2}}

C.

u_{\frac{1 - α}{2}}

D.

u_{1 - α}

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17. 当

X

服从（）分布时，

E X = D X

。

A.

指数

B.

泊松

C.

正态

D.

均匀

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18. 设离散型随机变量

X

的分布律为：

P {X = k} = b λ^{k}, (k = 1, 2, 3, \dots)

且

b > 0

，则

λ

为（）。

A.

λ > 0

的任意实数

B.

λ = b + 1

C.

λ = \frac{1}{1 + b}

D.

λ = \frac{1}{b - 1}

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19. 当随机变量的可能值充满区间（），则

φ (x) = \cos x

可以成为随机变量

X

的分布密度．

A.

[0, \frac{π}{2}]

B.

[\frac{π}{2}, π]

C.

[0, π]

D.

[\frac{3}{2} π, \frac{7}{4} π]

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20. 设

f_{1} (x)

为标准正态分布的概率密度，

f_{2} (x)

为

[- 1, 3]

上均匀分布的概率密度，若

f (x) = {\begin{cases} a f_{1} (x), & x ⩽ 0, \\ b f_{2} (x), & x > 0 \end{cases} (a > 0, b > 0)

为概率密度，则

a, b

应满足

A.

2 a + 3 b = 4

B.

3 a + 2 b = 4

C.

a + b = 1

D.

a + b = 2

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