单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
三个随机事件 $A, B, C$ 相互独立的充分条件是
$\text{A.}$ $A, B, C$ 两两独立.
$\text{B.}$ $P(A+B+C)=1-P(\bar{A}) P(\bar{B}) P(\bar{C})$.
$\text{C.}$ $P(A B C)=P(A) P(B) P(C)$.
$\text{D.}$ $P(B-A)=1$.
一批产品共 20 件, 其中 15 件正品, 5 件次品, 现有放回地抽取, 每次只取一件, 直到取得正品为 止. 假定每件产品被抽取的机会相等, 则抽取次数是奇数的概率以及平均抽取次数分别为
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}, \frac{4}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}, \frac{3}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{5}, \frac{3}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}, \frac{4}{3}$.
已知 $X \sim N(0,4)$, 样本 $X_1, X_2$ 取自总体 $X$, 则统计量 $T=\frac{\left(X_1-X_2\right)^2}{\left(X_1+X_2\right)^2}$ 服从的分布是
$\text{A.}$ $F(1,1)$.
$\text{B.}$ $\chi^2(1)$.
$\text{C.}$ $N(0,1)$.
$\text{D.}$ $t(1)$.
设 $X$ 为一随机变量, $E(X)=1, D(X)=0.1$, 则由切比雪夫不等式一定有
$\text{A.}$ $P(|X-1| < 1) \geq 0.1$
$\text{B.}$ $P(0 < X < 2) \geq 0.9$
$\text{C.}$ $P(|X-1| \geq 1) \geq 0.9$
$\text{D.}$ $P(0 < X < 2) < 0.1$
设二维随机变量 $(X, Y) \sim N(0,0 ; 1,1 ; 0), U=a X+b Y, V=c X+d Y$, 其中 $a, b, c, d$ 为实 数, 则 $(U, V) \sim N(0,0 ; 1,1 ; 0)$ 是 $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ 为正交矩阵的
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 必要非充分条件
$\text{D.}$ 非充分非必要条件
设 $X, Y$ 是两个随机变量, $E(X)=2, E(Y)=-1, D(X)=9, D(Y)=16$, 且 $X, Y$ 的相关系数 为 $\rho=-\frac{1}{2}$, 已知由切比雪夫不等式可得 $P\{|X+Y-1| < 10\} \geqslant k$, 则 $k$ 的值等于
$\text{A.}$ $\frac{9}{16}$.
$\text{B.}$ $\frac{3}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{21}{25}$.
$\text{D.}$ $\frac{87}{100}$.
设 $\theta$ 为总体 $X$ 的末知参数, $\theta_1, \theta_2$ 为统计量, $\left(\theta_1, \theta_2\right)$ 为 $\theta$ 的置信度 是 $1-\alpha(0 < \alpha < 1)$ 的置信区间, 则有
$\text{A.}$ $p\left(\theta_1 < \theta < \theta_2\right)=\alpha$
$\text{B.}$ $p\left(\theta_1 < \theta < \theta_2\right)=1-\alpha$
$\text{C.}$ $p\left(\theta < \theta_2\right)=\alpha$
$\text{D.}$ $p\left(\theta_1 < \theta\right)=1-\alpha$
设随机变量 $X_1$ 和 $X_2$ 相互独立, 且均服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, 则下列随机 变量中服从参数为 $2 \lambda$ 的指数分布的是
$\text{A.}$ $\max \left(X_1, X_2\right)$
$\text{B.}$ $\min \left(X_1, X_2\right)$
$\text{C.}$ $X_1+X_2$
$\text{D.}$ $X_1-X_2$
设二维随机变量 $(X, Y) \sim N(0,1 ; 1,4 ; 0)$, 则 $P\{X Y>X\}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1
设 $X_1 \sim N(1,1), X_2 \sim N(2,4)$, 又 $X_3 \sim\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\end{array}\right)$, 且 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立, $Z=\left(X_1-1\right) X_3+\left(X_2-2\right)\left(1-X_3\right)$, 则 $P\{Z \geqslant 0\}=$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
已知二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数为 $F(x, y)=A\left(B+\arctan \frac{x}{2}\right)\left(C+\arctan \frac{y}{3}\right)$, 则
$\text{A.}$ $A=\frac{1}{\pi^2}, B=\frac{\pi}{4}, C=\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $A=\frac{1}{\pi^2}, B=C=\frac{\pi}{2}$
$\text{C.}$ $A=1, B=\frac{\pi}{4}, C=\frac{\pi}{6}$
$\text{D.}$ $A=1, B=C=\frac{\pi}{2}$
设随机变量 $X, Y$ 相互独立, 且根率分布分别为
则下列式子中正确的是（）。
$\text{A.}$ $X=Y$
$\text{B.}$ $P\{X=Y\}=0$
$\text{C.}$ $P\{X=Y\}=\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $P\{X=Y\}=1$
设随机变量 $X, Y$ 独立同分布, $P\{X=0\}=p, P\{X=1\}=1-p=q, 0 < p < 1$. 令 $Z=$ $\begin{cases}1, X+Y \text { 为偶数, } \\ 0, & X+Y \text { 为奇数. }\end{cases}$
$\text{A.}$ 若 $X, Z$ 不独立, 则 $p_0 < p_1$.
$\text{B.}$ 若 $X, Z$ 不独立, 则 $p_0=p_1$.
$\text{C.}$ 若 $X, Z$ 不独立, 则 $p_0>p_1$.
$\text{D.}$ $X, Z$ 是否独立与 $p_0, p_1$ 的大小关系无关.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}
1,|y| < x, 0 < x < 1, \\
0, \quad \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$
则 $P\left\{Y>0 \left\lvert\, X=\frac{1}{2}\right.\right\}=1$,
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设 $X, Y$ 是 0-1 分布的随机变量, 已知 $P(X=0, Y=0)=P(X=0, Y=1)=1 / 3$, 若 $X$ 与 $Y$ 不相关, 则 $P(X=1, Y=0)=$
$\text{A.}$ $1 / 6$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $1 / 9$
$\text{D.}$ $1 / 3$
二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布为
若随机事件 $\{X=0\}$ 与 $\{X+Y=1\}$ 相互独立，则（ ）．
$\text{A.}$ $a=0.2, b=0.3$
$\text{B.}$ $a=0.1, b=0.4$
$\text{C.}$ $a=0.3, b=0.2$
$\text{D.}$ $a=0.4, b=0.1$
设二维随机变量 $\left(X_1, Y_1\right)$ 和 $\left(X_2, Y_2\right)$ 的概率密度分别为 $f_1(x, y)$ 与 $f_2(x, y)$ ，令
$$
f(x, y)=a f_1(x, y)+b f_2(x, y),
$$
若 $f(x, y)$ 是某二维连续型随机变量的概率密度，则 $a, b$ 满足条件（ ）．
$\text{A.}$ $a+b=1$
$\text{B.}$ $a>0$ 且 $b>0$
$\text{C.}$ $0 \leqslant a \leqslant 1,0 \leqslant b \leqslant 1$
$\text{D.}$ $a \geqslant 0, b \geqslant 0$ 且 $a+b=1$
设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且均服从标准正态分布 $N(0,1)$ ，则 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $P\{X+Y \geqslant 1\}=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $P\{X-Y \geqslant 1\}=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $P\{\max \{X, Y\} \geqslant 0\}=\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $P\{\min \{X, Y\} \geqslant 0\}=\frac{1}{4}$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布，且 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则 $Z=\max \{X, Y\}$ 的分布函数为 （ ）．
$\text{A.}$ $F^2(z)$
$\text{B.}$ $F(x) F(y)$
$\text{C.}$ $1-[1-F(z)]^2$
$\text{D.}$ $[1-F(x)][1-F(y)]$
设 $X_1$ 和 $X_2$ 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 $f_1(x)$和 $f_2(x)$ ，分布函数分别为 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ ，则 $($ 。
$\text{A.}$ $f_1(x)+f_2(x)$ 必为某一随机变量的概率密度
$\text{B.}$ $F_1(x) F_2(x)$ 必为某一随机变量的分布函数
$\text{C.}$ $F_1(x)+F_2(x)$ 必为某一随机变量的分布函数
$\text{D.}$ $f_1(x) f_2(x)$ 必为某一随机变量的概率密度