解答题 （共 28 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足
$\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}...(2.4),$
证明 $\boldsymbol{A}$ 及 $\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}$ 都可逆,并求 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 及 $(\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E})^{-1}$.
设 $A X=b$ 为非其次线性方程组, $r\left(A_{5 \times 4}\right)=3, \alpha, \beta, \gamma$ 为方程解, $\alpha=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)$,
$\beta+\gamma=\left(\begin{array}{l}3 \\ 5 \\ 6 \\ 9\end{array}\right)$, 求方程组通解。
设 $A$ 是 4 阶实矩阵， $A ^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，已知 $A ^*$ 有特征值 $1,-1,2,-4$ ，求 $\left| A ^3+2 A ^2- A -3 E \right|$
设矩阵
$$
A =\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
-1 & -1 & 1 \\
0 & 2 & a
\end{array}\right], \quad B =\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
（1）当 $a$ 为何值时，矩阵 $A$ 和 $B$ 等价；
（2）当 $A$ 和 $B$ 等价时，求一个可逆矩阵 $P$ ，使得 $P A = B$ ．
试证：若多项式 $f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n$ 有 $n+1$个两两不等的零点：$x_1, x_2, \cdots, x_{n+1}\left(x_i \neq x_j, i, j=1,2, \cdots, n+1\right)$ ，则 $f(x) \equiv 0$.
判断下列等式何时成立：
（1）$| \alpha + \beta |=| \alpha - \beta |$ ，
（2）$| \alpha + \beta |=| \alpha |+| \beta |$ ，
（3）$| \alpha + \beta |=| \alpha |-| \beta |$ ，
（4）$\frac{ \alpha }{| \alpha |}=\frac{ \beta }{| \beta |}$ ．
设 $\alpha =(5,2,5), \beta =(2,-1,2)$ ，求 $\alpha$ 在 $\beta$ 上的投影向量及投影向量的长．
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 都是 $n$ 阶方阵 $A$ 的两个特征值，且 $\lambda_1 \neq \lambda_2, X _1, X _2$ 是 $A$ 的分别属于 $\lambda_1, \lambda_2$ 的特征向量，试证： $X _1+ X _2$ 不可能是 $A$ 的特征向量。
设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A ^2= A$ ，试证 $A$ 的特征值只有 1 或 0 ．
设 $A$ 与 $B$ 是 $n$ 阶方阵，证明 $A B$ 与 $B A$ 有相同的特征值．
已知 $n$ 阶矩阵
$$
\begin{aligned}
&A =\left[\begin{array}{cccc}
a & a & \cdots & a \\
a & a & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a & a & \cdots & a
\end{array}\right](a \neq 0)\\
&\text { 问 } A \text { 是否可对角化？若能，求出相似变换矩阵 } P \text { ，使 } P ^{-1} A P \text { 成为对角阵．}
\end{aligned}
$$
已知 $R ^3$ 上一个线性变换 $\sigma$ 为
$$
\sigma\left(x_1, x_2, x_3\right)^{T}=\left(x_1+x_2+x_3, x_2+x_3, x_3\right)^{T}
$$
$\forall\left(x_1, x_2, x_3\right)^{ T } \in R ^3$ ．试证 $\sigma$ 为可逆变换，并求 $\sigma^{-1}$ 。
设 $\sigma, \tau, \rho$ 均是线性空间 $V$ 的线性变换．若 $\sigma \tau=\tau \sigma$ ，我们称线性变换 $\sigma$ 与 $\tau$ 可交换．试证：（1）若 $\sigma, \tau$ 都与 $\rho$ 可交换，则 $\sigma \tau, \sigma^2$ 也与 $\rho$ 可交换；（2）若 $\sigma$ 与 $\rho$ 可交换，且 $\sigma$ 可逆，则 $\sigma^{-1}$ 与 $\rho$ 也可交换．
在 $R ^2$ 中，求一个线性变换 $\sigma$ ，使 $\sigma(1,2)^{ T }=(2,3)^{ T }, \sigma(0,1)^{ T }=$ $(1,4)^{ T }$ ．并求 $\sigma(3,4)^{ T }$ ．
设 $A$ 为三阶矩阵， $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 为线性无关的三维列向量，且满足：
$$
A \alpha_1=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3, \quad A \alpha_2=2 \alpha_2+\alpha_3, \quad A \alpha_3=2 \alpha_2+3 \alpha_3
$$
（1）求矩阵 $B$ ，使得 $A\left[ \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right]=\left[ \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right] B$ ；
（2）求矩阵 $A$ 的特征向量；
（3）求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P ^{-1} A P = \Lambda$ ．
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 为 3 维列向量，矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}\right), \boldsymbol{B}=\left(2 \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}\right)$ ，且已知行列式 $\operatorname{det} \boldsymbol{A}=1, \operatorname{det} \boldsymbol{B}=-2$ ，计算 $\operatorname{det}(2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ ．
设 A 为 n 阶矩阵，且 $\mathrm{A}^2=\mathrm{E}$ ，证明： $\mathrm{r}(\mathrm{A}+\mathrm{E})+\mathrm{r}(\mathrm{A}-\mathrm{E})=\mathrm{n}$ 。
设实对称矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}k & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}4 & & \\ & 2 & \\ & & 4\end{array}\right)$ 相似，
1．求参数 $\boldsymbol{k}$ 的值；2．求一正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ，使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{B}$ ．
计算$ \left|\begin{array}{lllll}
1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\
2 & 3 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 3 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 3 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 1 & 3
\end{array}\right|$
设方阵
$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\sqrt{2}} & a & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
b & c & 0
\end{array}\right]
$$
1．$a, b, c$ 满足何关系， $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵。
2．$a, b, c$ 为何值时， $\boldsymbol{A}$ 为对称矩阵。
3．$a, b, c$ 为何值时， $\boldsymbol{A}$ 为正交矩阵。
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & b & a \\ a & b & 0 & 0 \\ b & a & 0 & 0\end{array}\right]$ ，其中 $a, b$ 是实数，$a \neq 0, b \neq 0,|a| \neq|b|$ 。
1．求 $\boldsymbol{A}$ 的特征值以及长度为 1 的特征向量。
2．当 $n$ 为正整数时，计算 $[1,0,0,0] \boldsymbol{A}^n[1,0,0,0]^{\mathrm{T}}$ 。
讨论$\lambda$取何值时，方程组有解，并求
$$
\left\{\begin{array}{l}
(1+\lambda) x_1+x_2+x_3=1 \\
x_1+(1+\lambda) x_2+x_3=\lambda \\
x_1+x_2+(1+\lambda) x_3=\lambda^2
\end{array}\right.
$$
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right]$ ，已知线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\beta}$ 有解，但不唯一。
1．求 $a$ 的值；
2．求正交矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，使 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}$ 为对角阵。
证明：任一 $n$ 阶方阵可以表示成一个数量矩阵（具有 $k \boldsymbol{I}$ 形式的矩阵）与一个迹为零的矩阵之和。（矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 的迹是指 $\operatorname{tr} \boldsymbol{A}=\sum_{i=1}^n a_{i i}$ ）
求向量组 $\alpha_1=(1,1,2,2)^T, \alpha_2=(0,2,1,5)^T, \alpha_3=(2,0,3,-1)^T, \alpha_4=(1,3,3,7)^T$ 的秩和一个极大线性无关组．
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}2 & -3 & 3 & 1 \\ 3 & -5 & 2 & 2 \\ 9 & -16 & 1 & 7\end{array}\right), X=\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}6 \\ 4 \\ 2\end{array}\right)$ ，求方程组 $A X=\beta$ 通解．
计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 4 \\ -2 & 4 & 5 & 3\end{array}\right|$
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & -2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 2 & 1 \\ 0 & -3\end{array}\right)$ ，满足 $A X-2 B=X$ ，求 X ．