解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足
$\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}...(2.4),$
证明 $\boldsymbol{A}$ 及 $\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}$ 都可逆,并求 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 及 $(\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E})^{-1}$.
设 $A X=b$ 为非其次线性方程组, $r\left(A_{5 \times 4}\right)=3, \alpha, \beta, \gamma$ 为方程解, $\alpha=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)$,
$\beta+\gamma=\left(\begin{array}{l}3 \\ 5 \\ 6 \\ 9\end{array}\right)$, 求方程组通解。
设 $A$ 是 4 阶实矩阵， $A ^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，已知 $A ^*$ 有特征值 $1,-1,2,-4$ ，求 $\left| A ^3+2 A ^2- A -3 E \right|$
设矩阵
$$
A =\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
-1 & -1 & 1 \\
0 & 2 & a
\end{array}\right], \quad B =\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
（1）当 $a$ 为何值时，矩阵 $A$ 和 $B$ 等价；
（2）当 $A$ 和 $B$ 等价时，求一个可逆矩阵 $P$ ，使得 $P A = B$ ．
试证：若多项式 $f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n$ 有 $n+1$个两两不等的零点：$x_1, x_2, \cdots, x_{n+1}\left(x_i \neq x_j, i, j=1,2, \cdots, n+1\right)$ ，则 $f(x) \equiv 0$.
判断下列等式何时成立：
（1）$| \alpha + \beta |=| \alpha - \beta |$ ，
（2）$| \alpha + \beta |=| \alpha |+| \beta |$ ，
（3）$| \alpha + \beta |=| \alpha |-| \beta |$ ，
（4）$\frac{ \alpha }{| \alpha |}=\frac{ \beta }{| \beta |}$ ．