单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{[x] \sin \frac{1}{x},} & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 其中 $[x]$ 表示对 $x$ 取整, 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的 ( )
$\text{A.}$ 振荡间断点, 且为极值点
$\text{B.}$ 第一类间断点, 且不为极值点
$\text{C.}$ 振荡间断点, 且不为极值点
$\text{D.}$ 无穷间断点, 且为极值点
设函数 $y(x)$ 满足方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+k y=0(0 < k < 1)$, 则以下选项中必定收敛的是 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} y(x) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^{-\infty} y(x) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} x^2 y(x) d x$
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} x^{-2} y(x) d x$
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,2]$ 上二阶可导, 且 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 又 $f(0)=2 f(1)=f(2)=2$, 则
$\text{A.}$ $1 < \int_0^2 f(x) d x < 2$.
$\text{B.}$ $\frac{3}{2} < \int_0^2 f(x) d x < \frac{5}{2}$.
$\text{C.}$ $2 < \int_0^2 f(x) d x < 3$.
$\text{D.}$ $3 < \int_0^2 f(x) d x < 4$.
设 $a_n=\frac{3}{2} \int_0^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^n} \mathrm{~d} x$ ，则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n$ 等于
$\text{A.}$ $(1+\mathrm{e})^{\frac{3}{2}}+1$ ．
$\text{B.}$ $\left(1+\mathrm{e}^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}-1$ ．
$\text{C.}$ $\left(1+\mathrm{e}^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}+1$ ．
$\text{D.}$ $(1+\mathrm{e})^{\frac{3}{2}}-1$ ．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 e^{-x} \sin n x \mathrm{~d} x=$
由曲线 $y=\frac{4}{x}$ 和直线 $y=x$ 及 $y=4 x$ 在第一象限中围成的平面图形的面积为
点 $A(2,1,-1)$ 关于平面 $x-y+2 z=5$ 的对称点坐标为 $\qquad$。
设 $x>0$ 时，可微函数 $f(x)$ 及其反函数 $g(x)$ 满足 $\int_0^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{3}\left(x^{\frac{3}{2}}-8\right)$ ，则 $f(x)=$
设 $f(x)$ 是定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上以 $2 \pi$ 为周期的二阶可导函数，且满足等式 $f(x)+ 2 f^{\prime}(x+\pi)=\sin x$ ，则 $f(x)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$ \int \sqrt{1+\sqrt{x}} d x$
求 $y d x=(1+x \ln y) x d y(y>0)$ 的通解．
$\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x)^2} d x=$
求微分方程 $y^{\prime \prime}+\left(4 x+e^{2 y}\right)\left(y^{\prime}\right)^3=0,\left(y^{\prime} \neq 0\right)$ 的通解．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\left(e^x-1\right) \ln (1+x)} \int_0^{x^2}(1-\sin 2 t)^{\frac{1}{t}} d t$
求通过直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x+5 y+z=0 \\ x-z+4=0\end{array}\right.$ 且与平面 $\pi: x-4 y-8 z+12=0$ 成 $45^{\circ}$ 角的平面方程．