解答题 （共 35 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $f(x, y)=x^2+2 y^2-x^2 y^2$ 在区域
$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 4, y \geq 0\right\}
$$
上的最大值和最小值。
设 $f(x)$ 是区间 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的单调、可导函数，且满足
$$
\int_0^{f(x)} f^{-1}(t) \mathrm{d} t=\int_0^x t \frac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t} \mathrm{~d} t
$$
其中 $f^{-1}$ 是 $f$ 的反函数，求 $f(x)$.
设函数 $f(x)$ 具有连续的一阶导数，且满足
$$
f(x)=\int_0^x\left(x^2-t^2\right) f^{\prime}(t) \mathrm{d} t+x^2 ，
$$
求 $f(x)$ 的表达式.
计算 $\int_0^1 \frac{x^2 \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$.
计算不定积分 $\int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) \mathrm{d} x(x>0)$.
计算不定积分 $\int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) \mathrm{d} x(x>0)$.
一个高为 $l$ 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 $2 a$ ，短轴为 $2 b$ 的椭圆. 现将咜油罐以长轴平行于水平面平放，当油罐中油面高度为 $\frac{3}{2} b$ 时，计算油的质量. (长度单位为 m ，质量单位为 kg ，油的密度为常数 $\rho \mathrm{kg} / \mathrm{m}^3$ )
一容器的内侧是由曲线 $C$ 绕 $y$ 轴旋转一周而成的曲面，其中曲线 $C$ 由 $x^2+y^2=2 y\left(y \geq \frac{1}{2}\right)$ 与 $x^2+y^2=1\left(y \leq \frac{1}{2}\right)$连接而成的.
(1) 求容器的容积；
（2）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功? (长度单位： m ，重力加速度为 $g \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，水的密度为 $10^3 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3$ ).
求不定积分 $\int \frac{\arcsin \sqrt{x}+\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$
计算 $\int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $f(x)=\int_1^x \frac{\ln (t+1)}{t} \mathrm{~d} t$.
求 $\lim _{x \rightarrow 0}(\cos 2 x+2 x \sin x)^{\frac{1}{x^4}}$.
求不定积分 $\int e^{2 x} \arctan \sqrt{e^x-1} \mathrm{~d} x$
求不定积分 $\int \frac{3 x+6}{(x-1)^2\left(x^2+x+1\right)} \mathrm{d} x$.
求极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^{\sqrt{t}} d u \int_{t^2}^t \sin y^2 d y}{\left[\left(\frac{2}{\pi} \arctan \frac{x}{t^2}\right)^x-1\right] \arctan t^{\frac{3}{2}}}$.
求极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \lim _{x \rightarrow+\infty} \dfrac{\int_0^{\sqrt{t}} d u \int_{u^2}^t \sin y^2 d y}{\left[\left(\frac{2}{\pi} \arctan \frac{x}{t^2}\right)^x-1\right] \arctan t^{\frac{3}{2}}}$.
设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=1+\frac{1}{2} \int_x^1 f(y) f(y-x) d y$, 求定积分 $I=\int_0^1 f(x) d x$.
求 $\int \frac{x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{\left(1-x^2\right)^2} d x$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, $\int_0^1 f(x) d x=0$, 且对任意的 $x \in(0,1)$, $\int_0^x f(t) d t \neq 0$, 证明在 $(0,1)$ 内存在一点 $\xi$, 使 $f(\xi)=\int_0^x f(t) d t$.
$\int_0^1 \frac{1}{(x+1)\left(x^2-2 x+2\right)} d x$
计算 $\int_0^1 \frac{1}{(x+1)\left(x^2-2 x+2\right)} d x$.
计算$\int_0^1 \frac{1}{(x+1)\left(x^2-2 x+2\right)} d x .$
设可导函数 $f(x)$ 满足 $\int x^3 f^{\prime}(x) d x=x^2 \cos x-4 x \sin x-6 \cos x+C$, 且 $f(2 \pi)=\frac{1}{2 \pi}$, 求 $\int f(x) d x$.
计算不定积分 $\int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} \ln \frac{\sqrt{a+x}}{2 a-x} d x(a>0)$ ．
已知函数 $f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x)= e ^{-x^2}$ ，反常积分 $\int_0^{+\infty} x f(x) d x$ 与 $\int_0^{+\infty} x^3 f(x) d x$ 均收敛．
（1）判断极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 与 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 是否存在，若存在，求其值；
（2）求 $f(0)$ ．
设曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r=1+\cos \theta, \theta \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ ，质点 $P$ 在力 $F$的作用下沿曲线 $L$ 从点 $A(0,-1)$ 运动到点 $B(0,1)$ ，力 $F$ 的大小等于点 $P$ 到点 $M(3,4)$的距离，其方向垂直于线段 $M P$ ，且与 $y$ 轴正向的夹角为锐角，求力 $F$ 对质点 $P$ 做的功 $W$ 。
设一薄板平面区域 $\sigma$ 由 $\sigma_1$ 与 $\sigma_2$ 组成，其中，$\sigma_1=\{(x, y) \mid 0 \leqslant y \leqslant a-x, 0 \leqslant x \leqslant a\}, \sigma_2=\{(x, y) \mid a \leqslant x+y \leqslant b$ ， $x \geqslant 0, y \geqslant 0\}$ ，如图 1－1 所示．它的面密度
$$
\mu(x, y)= \begin{cases}e^{-(x+y)}, & (x, y) \in \sigma_1, \\ \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \in \sigma_2 .\end{cases}
$$
试求：
（1）该薄板 $\sigma$ 的质量 $m$ ；
（2）薄板 $\sigma_1$ 关于 $y$ 轴的转动惯量 $J_1$ 与 $\sigma_2$ 关于原点的转动惯量 $J_2$ ．
试求函数 $f(x, y)=1-6 x+3 y+4 x^2+18\left|x^2+y^2-4\right|$ 在平面区域 $\sigma=\{(x$ ， y） $\left.\mid x^2+y^2 \leqslant 9\right\}$ 上的平均值．
证明 $\int_0^{\sqrt{2 \pi}} \sin x^2 \mathrm{~d} x>0$ ．
设 $f(x)$ 连续且满足 $\int_0^x t f(2 x-t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \arctan x^2$ 且 $f(1)=1$ ，求 $\int_1^2 f(x) \mathrm{d} x$ ．
计算积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^2} \mathrm{~d} x$ ；
已知曲线 $y=a \sqrt{x}(a>0)$ 与曲线 $y=\ln \sqrt{x}$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有公切线，求：（1）常数 $a$ 及切点 $\left(x_0, y_0\right)$ ；（2）两曲线与 $x$ 轴围成的平面图形的面积 $S$ 及绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积 $V$ ．
计算不定积分 $\int \frac{\mathrm{d} x}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+x\right)}$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \ln (2-\cos x)-3\left[\left(1+\sin ^2 x\right)^{\frac{1}{3}}-1\right]}{x^2[\ln (1+x)+\ln (1-x)]}$ ．
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微，而且对任何 $x \in(0,1)$ ，有 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ ．求证：对任何正整数 $n$ ，有
$$
\left|\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right)\right| \leqslant \frac{M}{n},
$$
其中 $M$ 是一个与 $x$ 无关的常数．
设连续函数$f(x)$ 满足$ f(x)=\sin x+\frac{1}{2} \int_x^{\frac{\pi}{2}} f(y) f(y-x) \mathrm{d} y$ ，求 $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$