填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $z(x, y)=\left(\frac{x}{y}\right)^2 \ln (3 x-2 y)$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}(1,1), \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}(1,1)$.
求空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2-3 x=0 \\ 2 x-3 y+5 z-4=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切线方程。
求椭圆抛物面 $z=1+x^2+3 y^2$ 、圆柱面 $x^2+y^2=1$ 及平面 $z=0$ 所围的有界区域的体积。
计算二重积分 $\iint_{\Omega} \frac{(1+x+y)^2}{1+x^2+y^2} d x d y$, 其中区域 $\Omega=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1\right\}$.
求和 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n)!}$.
一个雪球开始融化，假设它将时刻保持球形，且体积的融化率与表面积成正比, 若在最初的一个小时内, 其体积缩减为原来的 $\frac{1}{8}$ 。计算雪球全部融化所需的时间。
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $f(x, y)=x^2+y^2-x y$ 在区域 $D:|x|+|y| \leq 1$ 上的最大值。
设 $f(x)$ 在 $R$ 上二阶可导, 讨论 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n f\left(\frac{1}{n}\right)$ 的敛散性。
设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上二阶连续可导, $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$, 函数 $z=\left(x^2+y^2\right) f\left(x^2+y^2\right)$ 满足方程 $z_{x x}+z_{y y}=0$. 求函数 $f(x)$ 。
求函数 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n 2^n} x^n$ 在 $x=1$ 处的 Taylor 展开式及所求展开式的收敛域。
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明：$\frac{\pi}{4}\left(1-e^{-1}\right) < \left(\int_0^1 e^{-x^2} d x\right)^2 < \frac{\pi}{4}\left(1-e^{-2}\right)$
设 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的函数且 $f(x)= \begin{cases}1, & x \in[0, \pi] ; \\ 0, & x \in(-\pi, 0) .\end{cases}$
(1)求 $f(x)$ 的Fourier展开式, 并分别计算和函数在 $\frac{7 \pi}{2}$ 及 $7 \pi$ 处的值;
(2)求实系数 $A_0, A_1, \ldots, A_{10}$ 和 $B_1, B_2, \ldots, B_{10}$ 使下面的积分:
$$
\int_{-\pi}^\pi\left[(f(x)-g(x))^2+g^2(x)\right] d x
$$
达到最小值, 其中函数 $g(x)=\frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^{10}\left(A_n \cos n x+B_n \sin n x\right)$.