解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $P=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right), \Lambda=\left(\begin{array}{ccc}1 & & \\ & 2 & \\ & & -3\end{array}\right)$ ， $A P=P \Lambda$ ．求 $\varphi(A)=A^3+2 A^2-3 A$ ．
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4 \\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9\end{array}\right)$ ，求矩阵 $A$ 的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示．
问 $a, b$ 为何值时，线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_2+x_3+x_4=0, \\
x_2+2 x_3+2 x_4=1, \\
-x_2+(a-3) x_3-2 x_4=b, \\
3 x_1+2 x_2+x_3+a x_4=-1
\end{array}\right.
$$
有惟一解？无解？有无穷多解？并求出无穷多个解时的通解．
已知 $A$ 是 $2 n+1$ 阶正交矩阵，即
$$
A A^T=A^T A=E . \text { 证明 : }\left|E-A^2\right|=0 \text {. }
$$
已知 $\alpha_1=(1,1,1)^T$ ，求一组非零向量 $\alpha_2, \alpha_3$ ，使得 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交．
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是矩阵 $A$ 的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为 $\alpha_1, \alpha_2$ ，则 $\alpha_1, \alpha_2$ 为两个线性无关的向量．证明 $\alpha_1+\alpha_2$ 不是 $A$ 的特征向量．
已知二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=4 x_2^2-3 x_3^2+4 x_1 x_2-4 x_1 x_3+8 x_2 x_3
$$
（1）写出二次型 $f$ 的矩阵表达式；
（2）用正交变换把二次型 $f$ 化为标准型，并写出相应正交矩阵。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明：若 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $n \times p$ 矩阵，则有 $r(A B) \geq r(A)+r(B)-n$ ．特别地，当 $A B=O$ 时，有 $r(A)+r(B) \leq n$.