解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq\right.$ $4, x \geq 0, y \geq 0\}$ ，计算二重积分 $\iint_D \frac{x \sqrt{x^2+y^2}}{x+y} d x d y$ ．
计算二重积分 $\iint_D \sin y^2 d x d y$ ，其中 $D$ 是由 $x+y=1, x=1$ 及 $y=1$所围成的区域。
计算 $\iiint_{\Omega}(x+y+z) d x d y d z$ ，其中 $\Omega:(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2 \leq 1$ 。
求 $\int_{\Gamma}\left(x+3 y^2\right) d s$ ，其中 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=a^2 \\ x+y+z=0\end{array}(a>0)\right.$ 。
求 $\int_{\text {1 }}(2 x \sin y+y) d x+\left(x^2 \cos y+2 x\right) d y$ ，其中 $L: x^2+y^2=2 a x(a>0)$从 $(0,0)$ 到 $(2 a, 0)$ 的上半圆周。
计算 $\iint_{\Sigma}\left(x+y^2 z\right) d y d z+(4 y+1) d z d x+z d x d y$ ，其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}(0 \leq z \leq 1)$ 的下侧。
计算曲线积分 $\oint_L \frac{x d y-y d x}{4 x^2+y^2}$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^2+(y-1)^2=4$ ，定
向为逆时针方向。
计算 $\int_L(x+y) d s$ ，其中 $L: x^2+y^2=2 x$ 。
设 $\Sigma: \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+z^2=1(z \geq 0)$ ，点 $P(x, y, z) \in \Sigma$ ，$\Pi$ 是 $\Sigma$ 在点 $P$ 处
的切平面，$d(x, y, z)$ 为原点到 $\Pi$ 的距离，求 $\iint_{\Sigma} \frac{z}{d(x, y, z)} d S$ 。
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
说明 $\iint_{[1,2] \times[1,2]}\left[e^{x^2}+e^{-y^2}\right] dxdy \geq 2$ 。
已知曲面 $\Sigma_1: R z=x^2+y^2+R^2$ 和 $\Sigma_2: R z=x^2+y^2(R>0)$ 。证明：$\Sigma_1$ 上任一点处的切平面与曲面 $\Sigma_2$ 所围立体的体积与该点的位置无关。