解答题 （共 19 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
算 $I=\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2\right) d v$ ，其中 $\Omega$ 由曲线 $\left\{\begin{array}{c}y^2=2 z \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $O z$ 轴旋转一周而成的曲面和平面 $z=2, z=8$ 所围的立体．
计算 $\iiint_{\Omega}(m x+l y+n z)^2 d v, \Omega: x^2+y^2+z^2 \leqslant a^2$
设 $f(t)$ 连续，$F(t)=\iiint_{\Omega}\left[z^2+f\left(x^2+y^2\right)\right] d v$ ，其中 $\Omega$ 由 $x^2+y^2 \leqslant t^2, 0 \leqslant z \leqslant h$ 所确定．求 $\frac{ d F}{d t}, \lim _{t \rightarrow 0} \frac{F(t)}{t^2}$ ．
计算 $I=\int_L e ^{\sqrt{x^2+y^2}} d l, L$ 为圆 $x^2+y^2=a^2$ 与直线 $y=x$ 及 $x$ 轴在第一象限部分所围图形的边界．
计算 $I=\oint_C|y| d s$ ，其中 $C$ 为双纽线 $\left(x^2+y^2\right)^2=a^2\left(x^2-y^2\right)(a>0)$ ．
设 $L:\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=a^2 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ ，计算（1） $\int_L x^2 d l$ ；（2） $\int_L(x y+y z+z x) d l$ ．
计算 $I=\int_L\left(2 x e ^y+3 x^2-1\right) d x+\left(x^2 e ^y-2 y\right) d y$ ，其中 $L$ 为通过点 $A(1,2), B(3,3), C(5,-3)$的圆弧，由 $A$ 到 $C$ ．
计算 $I=\int_L\left(\frac{-y}{(x-2)^2+y^2}+\frac{-y}{x^2+y^2}\right) d x+\left(\frac{x-2}{(x-2)^2+y^2}+\frac{x}{x^2+y^2}\right) d y, L$ 为沿两圆周： $(x-2)^2+y^2=1, x^2+y^2=1$ 的逆时针方向转一圈．
计算 $I=\oint_C \frac{x d y-y d x}{4 x^2+y^2}$ ，其中 $C$ 是以 $(1,0)$ 为中心，$R$ 为半径的圆周 $(R \neq 1)$ ，取逆时针方向。
计算 $I=\int_L y d x+z d y+x d z, L:\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=2 z \\ x+z=1\end{array}\right.$ 从 $z$ 轴正向去，曲线 $L$ 为逆时针方向．
设曲面 $\Sigma:|x|+|y|+|z|=1$ ，则 $\oint_{\Sigma}(x+|y|) d S=$
计算 $\iint_{\Sigma}\left(x^2+y^2+z^2\right) d S$ ，其中 $\sum$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=2 a z(a>0)$ ．
算 $I=\iint_{\Sigma}\left(x^2+y^2\right) d S, \Sigma$ 是锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $z=1$ 所围成的形体的表面．
计算 $I=\iint_{\Sigma} 4 x z d y d z-2 z y d z d x+\left(1-z^2\right) d x d y, \sum$ ：由平面曲线 $\left\{\begin{array}{l}z= e ^y \\ x=0\end{array}, 0 \leqslant y \leqslant a\right.$ 绕 $z$ 轴旋转所得旋转面，取下侧．
计算 $I=\iint_{\Sigma} \frac{ e ^z}{\sqrt{x^2+y^2}} d x d y, \Sigma$ ：由锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与两平面 $z=1, z=2$ 所围形体表面，取外侧．
设均匀平面薄板 $D$ 由 $x^2 \leqslant y \leqslant 1$ 的确定，求该薄板关于过 $D$ 的重心和点 $(1,1)$ 的直线的转动惯量．
设有半径为 $R$ 的球体，$P_0$ 是球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 $P_0$ 距离的平方成正比（比例系数 $k>0$ ），求球体重心的位置。
设位于点 $(0,1)$ 的质点 $A$ 对质点 $M$ 的引力大小为 $\frac{k}{r^2}(k>0, r$ 为质点 $A$ 与 $M$ 之间的距离），质点 $M$ 沿曲线 $y=\sqrt{2 x-x^2}$ 自点 $B(2,0)$ 运动到点 $O(0,0)$ ，求在此运动过程中质点 $A$ 对质点 $M$ 的引力所作的功．
向量场 $u (x, y, z)=x y^2 i +y e ^z j +x \ln \left(1+z^2\right) k$ 在点 $P(1,1,0)$ 处的散度 $\operatorname{div} u =$ $\qquad$
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设数量场 $u(x, y, z)$ 具有二阶连续偏导数，试证明 $\operatorname{rot}(\operatorname{grad} u)=0$ ．