单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $z=\frac{1}{2}(1-3 i )$ ，则 $\arg z=$ $\qquad$ ．
$\text{A.}$ $\pi-\arctan 3$
$\text{B.}$ $-\arctan 3$
$\text{C.}$ $-\pi-\arctan 3$
$\text{D.}$ $2 k \pi-\arctan 3, k \in Z$
设 $z=\frac{1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}$ ，则 $z^{10}=$ $\qquad$ ．
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i$
设 $(1+ i )^n=(1- i )^n$ ，则 $n=$ $\qquad$ ．
$\text{A.}$ $4 k, k \in Z$
$\text{B.}$ $2 k, k \in Z$
$\text{C.}$ $3 k, k \in Z$
$\text{D.}$ $k, k \in Z$
设 $w$ 为任意一个不等于 1 的 $n$ 次单位根，则 $1+w+w^2+\cdots+w^{n-1}=$ $\qquad$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 不确定
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设复数 $z=\frac{ i }{1- i }+\frac{1- i }{ i }$ ，则 $\operatorname{Re} z=$ $\qquad$ , $\operatorname{Im} z=$ $\qquad$
设 $z=-3-2 i$ ，则 $z$ 的三角形式为 $\qquad$ ，$z$ 的指数形式为 $\qquad$ ．
复数 $z=\sin \frac{\pi}{3}-i \cos \frac{\pi}{3}$ 的三角形式为 $\qquad$ ，指数形式为 $\qquad$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
把复数 $z=1+\sin \alpha+ i \cos \alpha,-\pi < \alpha < -\frac{\pi}{2}$ 化为三角形式与指数形式，并求 $z$ 的主辐角与模．
方程 $z^3+1=0$ 的所有根为 $\qquad$ ．
试解方程 $\bar{z}=z^{n-1}$（ $n$ 为自然数）．
设 $\left|z_k\right|=1 \quad(k=1,2, \cdots, n)$ ．
试证：$\left|\sum_{k=1}^n \frac{1}{z_k}\right|=\left|\sum_{k=1}^n z_k\right|$ ．
写出圆周 $x^2+2 x+y^2=1$ 的复数形式．
设动点到两定点 $(4,0)$ 与 $(-4,0)$ 的距离之和等于 12 ，试求该动点轨迹方程．